УПРАЖНЕНИЯ. 12. На трех карточках написаны буквы Р, А, К

12. На трех карточках написаны буквы Р, А, К. Сколько различных слов можно составить, если словом считается любой набор из двух букв? Запишите эти слова.

13. В домоуправлении трудится 6 человек. Поступило распоряжение о премировании трех сотрудников (различными суммами). Сколькими способами можно это сделать?

14. На железнодорожной ветке Дрюково—Стуково имеется 10 станций. В течение дня с каждой станции на каждую другую выехало в точности по одному пассажиру. Сколько билетов было куплено в этот день?

15. Сколькими способами можно выбрать из семи разных книг какие-либо четыре и подарить их четырем милиционерам, занявшим первые четыре призовых места на конкурсе «Настоящий мужчина города Брюкова»?

16. Студенты одной группы должны сдать 5 экзаменов в течение восемнадцати дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если в один день разрешается сдавать не более одного экзамена?

17. В течение дня из Брюкова в Стуково отправляется 8 автобусов. Разведенные супруги гражданин N и гражданка М не хотят ехать в одном автобусе. Сколькими способами они могут отправиться в разных автобусах?

Пример 3. День Брюквы

Согласно древнему обычаю, самый главный праздник в Брюкове — День Брюквы, проводится за счет средств городского бюджета и празднуется столько дней, сколько депутатов проголосует за то, чтобы праздник состоялся. Из десяти депутатов «за» проголосовали семь.

Каково число всех возможных вариантов голосования?

Решение. Мы должны найти число всех возможных групп из семи депутатов. Здесь порядок выбора не играет никакой роли, поэтому рассматриваемые комбинации отличаются одна от другой только составом лиц. Комбинации такого типа называются сочетаниями.

Определение. Сочетанием из п элементов по k называется всякая совокупность k элементов, выбранных каким-либо способом из данных п элементов.

Число всех сочетаний из п элементов по k обозначается . В примере 3 нужно найти .

Теорема 4. Число всех сочетаний из п элементов по k вычисляется по формуле

(6)

Доказательство. Возьмем какое-нибудь сочетание из п элементов по k

Переставляя эти элементы всевозможными способами, получим k! всех размещений из п по k одного и того же состава. Таким образом, из одного сочетания получается k! размещений. Следовательно, из С_п сочетаний получится С_п • k! размещений, т.е.

Отсюда, с учетом формулы (5) получаем:

,

что и требовалось доказать.

В примере 3 было п = 10, k = 7, поэтому число всех вариантов голосования присяжных равно