Интервальный ряд. Гистограмма

При обработке большого числа экспериментальных данных их предварительно группируют и оформляют в виде так называемого интервального ряда.

Пример 1. Средняя месячная зарплата за год каждого из пятидесяти случайно отобранных работников хозяйства такова:

317 304 230 285 290 320 262 274 205 180 234 221 241

270 257 290 258 296 301 150 160 210 235 308 240 370

180 244 365 130 170 250 370 267 288 231 253 315 201

256 279 285 226 367 247 252 320 160 215 350.

Здесь переменной величиной X является средняя месячная зарплата. Как видно из приведенных данных, наименьшее значение величины X равно 130, а наибольшее — 370. Таким образом, диапазон наблюдений представляет собой интервал 130–370, длина которого равна 370 – 130 = 240.

Разобьем диапазон наблюдений на части (разряды) так, чтобы каждый разряд содержал несколько экспериментальных данных. Например, разделим интервал 130-370 на 6 равных частей, тогда длина каждого разряда будет 40. Границами разрядов будут числа 130, 170, 210, 250, 290, 330, 370 (рис. 3).

Подсчитаем число значений, попавших в каждый-разряд. Например, в первый разряд попадают следующие числа: 150 (1 раз), 160 (2 раза), 130 (1 раз), 170 (1 раз). Поскольку число 170 находится на границе между первым и вторым разрядами, мы включим его и в первый и во второй разряды, но с кратностью 1/2. Сложив кратности, мы получим абсолютную частоту первого разряда:

m₁ = 1 + 2 + 1 + 0,5 = 4,5.

Разделив абсолютную частоту на число п всех наблюдений, получим относительную частоту попадания величины X в первый разряд:

Таблица 6

	130–170	170-210	210-250	250-290	290-330	330-370
m1	4,5			14,5
	0,09	0,10	0,24	0,27	0,18	0,10

Здесь m₁ — абсолютные частоты, — относительные частоты. Табл. 6 называется интервальным рядом.

Сумма всех абсолютных частот равна числу всех приведенных в табл. 6 значений переменной величины:

4,5 + 5 + 12 + 14,5 + 9 + 5 = 50.

Это свойство используется для проверки правильности вычислений. Из него следует, что сумма всех относительных частот равна единице:

0,09 + 0,10 + 0,24 + 0,29 + 0,18 + 0,10 = 1.

Интервальный ряд изображают графически в виде гистограммы, которая строится так. Сначала вычисляют плотности частот h₁, h₂, h₃,..., разделив относительную частоту каждого разряда на его длину:

, , h₃ = 0,00600,

h₄ = 0,00725, h₅ = 0,00450, h₆ = 0,00250

Затем выбирают на плоскости систему координат и откладывают на оси X значения 40, 80, 120,..., соответствующие границам разрядов. На каждом из отрезков длины 40, как на основании, строят прямоугольник, высота которого равна плотности частоты соответствующего разряда. Полученная фигура и называется гистограммой. Она изображена на рис. 4.

Заметьте, что высоты h₁, h₂,... h₆ прямоугольников, образующих гистограмму, выбраны так, что их площади будут , т.е. равны соответствующим относительным частотам. Отсюда вытекает такое правило:

Для того, чтобы найти долю тех значений величины X, которые попадают в некоторый интервал, нужно найти площадь той части гистограммы, основанием которой является данный интервал.

Определим, например, долю значений величины X, принадлежащих интервалу 210–300. Для этого вычислим площадь фигуры с основанием 210-300 (на рисунке она выделена штриховкой). Площади первых двух прямоугольников, составляющих фигуру, равны соответственно = 0,24 и = 0,29; площадь третьего равна 10 • 0,0045 = 0,045. Сумма площадей 0,24 + 0,29 + 0,045 = 0,575 и дает нужное число. Иными словами, 57,5% значений величины X находится в границах от 210 до 300.

Как мы заметили в начале параграфа, интервальный ряд составляют при обработке больших массивов информации. В таких случаях, как правило, отдельные значения величины X не фиксируются, а подсчитывается количество ее значений, попавших в каждый разряд (т.е. абсолютные частоты). Поэтому исследователь не знает отдельных значений наблюдаемой величины X и не может воспользоваться формулами (1), (5) и (7) для вычисления среднего арифметического, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Но приближенное значение этих числовых характеристик можно найти с помощью интервального ряда. Для этого сначала находят середины разрядов: (здесь k — число всех разрядов интервального ряда); затем проводят вычисления по следующим формулам:

, (8)

(9)

(10)

Результаты расчетов по данным табл. 6 сведены в сле­дующую таблицу:

Таблица 7

i
		13,5	–106,8	11406,24	1026,56
		19,0	–66,8	4462,24	46,22
		55,2	–26,8	718,24	172,38
		78,3	13,2	174,24	90,53
		55,8	53,2	2830,24	509,44
		35,0	93,2	8686,24	868,62
		256,8			3113,75

В первом столбце записаны номера разрядов, во втором — числа x_t (середины разрядов), в третьем — про­изведения x_tp₍, и т.д. Таблица заполняется по столбцам. Середину разряда вычисляем как полусумму его границ:

130 + 170 _чсл _ 170 + 210

*! = —————— = 150, х,= —————— = 190, и т.д.

2 2

Согласно формуле (8), сумма чисел третьего столбца да­ет среднее арифметическое = 256,8. Оно записано в последней строке этого столбца. Сумма чисел последнего столбца равна дисперсии D = 3113,75 [см. формулу (9)]. Наконец, по формуле (10) определяем среднее квадратическое отклонение S = = 55,80.

Интервальный ряд, гистограмма и числовые характеристики, найденные по формулам (8)-(10), составляют математическую модель средней заработной платы. Она используется при проведении различных социологических исследований, например, при определении уровня жизни работников какой-либо отрасли.