УПРАЖНЕНИЯ. 19. Сколькими способами можно поставить три пешки на белые клетки шахматной доски?

18. В группе 30 студентов. Сколькими способами можно выбрать 6 делегатов для переговоров с администрацией института по вопросу о свободной продаже пива в студенческом буфете?

19. Сколькими способами можно поставить три пешки на белые клетки шахматной доски?

20. Для участия в соревнованиях тренер отбирает 5 спортсменов из двенадцати. Сколькими способами он может составить команду?

21. На окружности выбрано 7 точек. Сколько можно построить треугольников с вершинами в этих точках?

22. На карточке спортлото 36 клеток. Играющий должен отметить 4. Каково число всех возможных вариантов?

Числа сочетаний обладают многими важными свойствами. Некоторые из них понадобятся нам в дальнейшем. Например,

= (7)

Доказательство. Если из п элементов выбрать k элементов, то останется n — k элементов. Следовательно, каждому сочетанию из п элементов по k соответствует определенное сочетание из п элементов по п - k. Поэтому число тех и других сочетаний одинаково. Доказательство закончено.

Формула (7) сокращает вычисления, например:

Заметим, что формулы (4)-(6) допускают более широкое толкование. По определению полагают 0! = 1, А_п =1, =1.

Числа также называют биномиальными коэффициентами, с их помощью записывается так называемая формула бинома Ньютона:

(а + b)^п = аⁿ + a^n-1b + a^n-1b² +... + аb^n-1 +bⁿ

Эту формулу можно доказать, например, методом математической индукции. Попробуйте сделать это самостоятельно.