Аксиомы. (4) ∀хiА (хi) →А(t), где А (хi) есть формула теории К и t есть терм

(1) А → (В→А)

(2) (А → (В→β)) → ((А → В)→(А→β));

(3) (˥ В→˥А) →((˥ В→А) →В);

(4) ∀ х_iА (х_i) →А(t), где А (х_i) есть формула теории К и t есть терм теории К, свободный для х_i, и тогда мы получаем аксиому ∀ х_iА (х_i) →А(х_i).

(5) ∀ х_i(А→В) →(А→ ∀ х_i В), если формула А не содержит свободных вхождений х_i.

i. Modus ponens: из А и А→В следует В.

ii. Правило обобщения (или связывания квантором всеобщности): из А следует ∀ х_iА - Gen

(III) Если в данной интерпретации истинны А и А→В, то истинно и В.

(VI) А истинно в данной интерпретации тогда и только тогда, когда в этой интерпретации истинно ∀ х_iА.

Следствие 2.14. Во всяком исчислении предикатов первого порядка теоремами являются все те и только те формулы, которые логически общезначимы.

Доказательство. Следует из предложения 2.7 и следствия 2.13.

Следствия 2.13. Всякая логическая общезначимая формула теории К первого порядка являются теоремой теории К.

23.Формальная система модели (N,+,*,=)

24. Системы одноместных предикатов формульных в арифметике. Определение 1. Одноместным предикатом Р(x) называется произвольная функция переменного x, определенная на множестве M и принимающая значение из множества {1; 0}. Множество М, на котором определен предикат Р(x), называется областью определения предиката Р(x). Множество всех элементов , при которых предикат принимает значения “истина” (1), называется множеством (областью) истинности предиката Р(x), т.е. множество истинности предиката Р(х)- это множество . Так, например, предикат Р(x) – “x – простое число” определен на множестве N, а множество истинности I_P для него есть множество всех простых чисел.

Р(х) – “х есть простое число”

П(х) – “x=p^a, где р-простое”

Sq(x) – “х есть квадрат нат. числа”

Сub(x) – “х есть куб нат. числа”

Even(x) – “х есть четное число”

Odd (x) – “х есть нечентное число”

Even(x)~ ØOdd (x)

25. Система двухместных предикатов формульных в арифметике. Определение 1. Двухместным предикатом Р(x,y)называется функция двух переменных x и y, определенная на множестве М=М₁хМ ₂ и принимающая значения из множества {1;0}. В числе примеров двухместных предикатов можно назвать такие предикаты: Q(x, y) – “x=y” - предикат равенства, определенный на множестве RхR=R²;

Двухместные предикаты:

Neib(x,y) – «соседство»…итино если х ссоед у, то есть либо х=у+1, либо у=х+1

х≤у - х меньше или равно у

х|у – у делится нацело на х

х┴у - х взимнопрост с у

нод (х,у)=1

х≤ _ру – «х и у простые и х≤у»

х≤_пу – «х и у степени простые числа и х≤у»

Neib(x,y) ~ [(x=s(y)) v (y=s(x))]

x|y ~

26. Система двухместных операций формульных в арифметике. Предикаты, так же, как высказывания, принимают значения И или Л, поэтому и к предикатам и к высказываниям применимы все операции логики высказываний. Двухместная операция – операция в которой участвуют два высказывания или предиката. в таблице истинности двуместной логической операции — четыре строки: 4 различных сочетания значений аргументов — 00, 01, 10 и 11 и 4 соответствующих им значения функции