Законы равносильности формул в алгебре высказываний

Таблицы истинности для формул алгебры высказываний.

Из высказываний путем соединения их различными способами можно составлять новые, более сложные высказывания. Мы рассматриваем одни только истинностно-функциональные комбинации, в которых истинность или ложность новых высказываний определяется истинностью или ложностью составляющих высказываний. Следующая таблица определяет, какие значения принимают высказывания, полученные с помощью этих операций. Такая таблица называется истинностной:

A	B	7A	A&B	AVB	A→B	A↔B
И	И	Л	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	И	И	Л
Л	Л	И	Л	Л	И	И

Существует общепринятая классификация булевых формул в зависимости от вида таблицы истинности. Истинностной функцией от n аргументов называется всякая функция от n аргументов принимающая истинностные значения И или Л, если аргументы ее пробегают те же значения. Пропозициональная форма является тавтологией тогда и только тогда, когда соответствующая истинностная функция принимает только значение И(т.е. в табл ист-ти столбец под самой пропозиц-й формой состоит тока из букв И). Пропозиц форма, которая ложна при всех возможных истинностных значениях ее пропозиц букв, называется противоречием(Истинностная табл для такой формы имеет в столбце под этой формой одни тока буквы Л)

Законы равносильности формул в алгебре высказываний

ПЕРВАЯ ГРУППА

Равносильности, показывающие возможность выразить связки ~ и → через V^

А ~ В = (A ^ В) V (В ^ A)

1. Выражение эквивалентности через V ^

А -> В = A V В

2. Выражение следования через V

ВТОРАЯ ГРУППА

Равносильности, выражающие свойства отдельно взятой основной связки

(A) = А

3. Закон двойного отрицания А ^ В = В ^ A

4. Переместительный закон для логического умножения

(А ^ В) ^ С = A ^ (В ^ С)

5. Сочетательный закон для логического умножения А ^ А = A

6 А ^ И = A

7. Умножение на логическую единицу А ^ Л = Л

8. Умножение на логический нуль

А V В=В V A

9. Переместительный закон для логического сложения

(А V В) V С=A V (В V С)

10. Сочетательный закон для логического сложения

А V А = A

11. А V И = И

12. Сложение с логической единицей

А V Л = А

13. Сложение с логическим нулём

ТРЕТЬЯ ГРУППА

Равносильности, выражающие отношения между основными связками

А V А = И

14. Закон исключённого третьего

А ^ А = Л

15. Закон противоречия

(А V В) = A ^ В

16. Первый закон двойственности по отношению к

(А V В) = A ^ В

17. Второй закон двойственности по отношению к

(А V В) ^ С = A ^ С V В ^ С

18. Первый распределительный закон (снятие скобок)

А ^ В V С = (A V С)^ (В V С)

19. Второй распределительный закон(введение скобок)

(А V В) ^ А = A

20. Первый закон элементарного поглощения

А ^ В V А = A

21. Второй закон элементарного поглощения