Тема 2. Построение оценок параметров распределения

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания к практическим занятиям

по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов III курса физического факультета

по специальности «ИБАС»

(1-ая версия от 08.11.2012)

Челябинск, 2012

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

ЗАДАЧИ

1.1. Дана исходная таблица распределения тридцати абитуриентов по числу баллов, полученных ими на вступительных экзаменах:

Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию. Построить эмпирическую функцию распределения.

1.2. Имеются данные о количестве студентов в 24 группах:

Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию. Построить эмпирическую функцию распределения.

1.3. Длина свободного пробега частицы распределена по экспоненциальному распределению с показателем 100. Дана выборка из длин свободного пробега. Сравнить выборочное среднее и выборочную дисперсию со значениями математического ожидания и дисперсии.

0.135	0.069	0.008	0.251	0.150
0.166	0.153	0.082	0.034	0.225
0.004	0.058	0.095	0.040	0.197
0.021	0.003	0.253	0.016	0.013

1.4. По данной выборке оценить выборочное среднее и выборочную дисперсию. Полученные значения сравнить с истинными значениями a=0, s²=1. Полагая выборку нормальной, оценить относительную погрешность оценки математического ожидания и дисперсии.

-0.48496	0.149774	-2.06519	1.054071	-1.13811
-2.0769	-2.04166	-2.65699	-0.00457	0.692439
0.483049	-1.18127	1.15884	0.747012	1.192643
-0.73544	-0.74888	-0.0115	-0.02853	0.231945

1.5. 3а семь месяцев предприятие получало ежемесячную прибыль (в у.е.): 2, 3, 2, 4, 3, 5, 4. Найдите выборочное среднее и выборочную дисперсию. Построить эмпирическую функцию распределения прибыли, оценку гистограммы плотности распределения с шагом 0.5.

1.6. Ежедневный доход казино «Версаль» составил за 7 дней ряд значений: 2, 3, 4, 1, 5, 6, 2 (в условных единицах). Рассматривая данные, как выборочные наблюдения случайной величины, найдите выборочную среднюю и выборочную дисперсию дохода казино.

1.7. Пусть (-0.8, 2.9, 4.3, -5.7, 1.1, -3.2) – наблюдавшиеся значения выборки. Построить эмпирическую функцию распределения и проверить, что

1.8. Найти 2 выборки разного объема, которым соответствует приведенная на рисунке эмпирическая функция распределения.

1.9. Пусть (3, 0, 4, 3, 6, 0, 3, 1) – наблюдавшиеся значения выборки. Построить эмпирическую функцию распределения и проверить, что

ТЕМА 2. ПОСТРОЕНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

ЗАДАЧИ

2.1. Пусть оцениваемым параметром является математическое ожидание случайной величины , а его оценка – выборочное среднее , определенное на выборке . Будет ли такая оценка несмещенной и состоятельной?

2.2. Пусть оцениваемым параметром на выборке является математическое ожидание случайной величины , а его оценка – первый элемент выборки . Будет ли такая оценка несмещенной и состоятельной?

2.3. Пусть оцениваемым параметром на выборке является дисперсия случайной величины , а его оценка – выборочная дисперсия . Будет ли такая оценка несмещенной и состоятельной?

2.4. Пусть – выборка из равномерного распределения на отрезке . Проверить на несмещенность и состоятельность следующие оценки параметра :

2.5. Пусть – выборка из распределения с конечным вторым моментом и известно значение . Проверить на несмещенность и состоятельность следующие оценки неизвестной дисперсии:

2.6. Пусть – выборка из показательного распределения с параметром на отрезке . Проверить на несмещенность и состоятельность оценку параметра .

2.7. Используя метод моментов, оценить параметр равномерного распределения на отрезке:

2.8. Используя метод моментов, оценить значения параметра по выборке из показательного распределения с параметром .

2.9. Используя метод моментов, оценить значение параметра по выборке из распределения Пуассона с параметром .

2.10. Используя метод моментов, оценить значение параметра геометрического распределения.

2.11. Пусть дана выборка из биномиального распределения с параметрами: - число испытаний, - вероятность успеха в одном испытании. Используя метод моментов, построить оценку:

а) параметра , если значение параметра известно;

b) параметра , если значение параметра известно;

c) векторного параметра .

2.12. Используя метод моментов, оценить векторный параметр нормального распределения.

2.13. Методом наибольшего правдоподобия найдите оценку параметра µ показательного закона распределения времени между авариями, если известно, за 5 месяцев работы сборочной автоматизированной линии получены такие данные по количеству аварий за каждый месяц работы: 3, 4, 1, 0, 2. Найдите вероятность того, что за шестой месяц произойдет 5 аварий.

2.14. Методом наибольшего правдоподобия найдите оценку вероятности успеха в одном испытании в биномиальном законе распределения, если известно, что в девяти независимых испытаниях успех появился ровно 4 раза. Найдите вероятность того, что успех произойдет менее двух раз.

2.15. Исследуется количество заявок на товар, поступивших на предприятие в течение недели. Предполагается, что количество поступивших заявок починено закону Пуассона. Известно, что число полученных за предыдущие три недели заявок составило, соответственно, 5, 4, 5. Методом наибольшего правдоподобия вывести формулу для оценки параметра l закона Пуассона на основе результатов выборки. Применив полученную оценку, вычислить вероятность того, что на следующей неделе на предприятие поступит 3 заявки.

2.16. Найти оценку наибольшего правдоподобия параметра , равномерно распределенного на отрезке .

2.17. Методом наибольшего правдоподобия найти оценку дисперсии нормального распределения, если математическое ожидание известно и равно .