Построение доверительного интервала для дисперсии при неизвестном математическом ожидании

Дано:

· X N(m;s) нормальное распределение.

· n=100, Ŝ ²=0,047598 - исправленная выборочная дисперсия.

· Доверительная вероятность: =1- =0,95.

Найти доверительный интервал для дисперсии: P{ ( }=

Решение:

Рассмотрим с.в.: с (n-1) степенями свободы; k= n-1 = 99.

По таблице распределения Пирсона найдем :

= =73,36

= =128,42

0,036 0,064

P{ ( }= P{ ( }=

Нашли P{ ( }= Используя таблицу распределения Пирсона, находим доверительный интервал (, покрывающий неизвестную дисперсию с надежностью 0,95.

Часть V. Проверка статистических гипотез. Критерий значимости.

Задача 1. Проверка гипотезы о значении математического ожидания m (генеральной средней) при известном s.

Дано:

· X N(m;s) нормальное распределение

· n=100, =0,106732

· =0,2, -уровень значимости, =0,05

-нулевая гипотеза:

- альтернативная гипотеза:

Нужно выбрать одну из односторонних гипотез, а именно: если то имеем правостороннюю гипотезу : .

Т.к. =0,106732, =0,1 и 0,106732 > 0,1, то имеем правостороннюю гипотезу : .

Решение:

1. Статистика критерия: - стандартно распределенная случайная величина.

2. Вычислим выборочное значение этой величины, используя условие задачи:

3. Строим критическую область:

o Для двусторонней гипотезы :

Правило принятия решения: Если Ф(z_крит) = (1 - a)/2, то нет основания отвергнуть гипотезу на уровне значимости a. А если то мы попадаем в критическую область и гипотезу на уровне значимости a отвергаем.

Т.к., Ф(z_крит) = (1 - a)/2=0,475, следовательно, z_крит=1,96.

0,135<1,96 нет основания отвергнуть гипотезу : на уровне значимости a=0,05.

Для правосторонней гипотезы : :

Правило принятия решения: Если Ф(z_крит) = (1 - 2a)/2, то нет основания отвергнуть гипотезу на уровне значимости a. А если то мы попадаем в критическую область и гипотезу на уровне значимости a отвергаем.

Т.к., Ф(z_крит) = (1 - 2a)/2=0,45, следовательно z_крит=1,65.

0,135<1,65 нет основания отвергнуть гипотезу : на уровне значимости a=0,05.

Задача 2. Проверка гипотезы о значении математического ожидания (генеральной средней) при неизвестном s.

Дано:

· X N(m;s) нормальное распределение

· n=100; = 0,106732; Ŝ ²= 0,047598

· -уровень значимости, =0,05

-нулевая гипотеза:

Альтернативные гипотезы:

: (двусторонняя)

: (правосторонняя)

Решение:

1. Статистика критерия: - распределение Стьюдента, число степеней свободы k = n-1=99.

2. Вычисляем выборочное значение на основании исходных данных:

3. Строим критическую область:

o Для двусторонней гипотезы :

- границы критической области.

Правило принятия решения: Если то нет основания отклонить гипотезу на уровне значимости a. А если то мы попадаем в критическую область и гипотезу на уровне значимости a отвергаем.

Т.к., = t(99, 0,05)= 1,984

<1,984 нет основания отвергнуть гипотезу : на уровне значимости a=0,05.

Для правосторонней гипотезы :

- граница правосторонней критической области.

Правило принятия решения: Если то нет основания отклонить гипотезу на уровне значимости a. А если то мы попадаем в критическую область и гипотезу на уровне значимости a отвергаем.

Итак, для правосторонней критической области = t(99, 0,05)= 1,660

<1,660 нет основания отвергнуть гипотезу : на уровне значимости a=0,05.

Задача 3. Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности при известном значении математического ожидания генеральной совокупности.

Дано:

· X N(m;s) нормальное распределение

· n=100, D = = 0,04, =0,046277- центрированная выборочная дисперсия

· -уровень значимости, =0,05

-нулевая гипотеза:

Альтернативные гипотезы:

: (двусторонняя)

H1(2): (правосторонняя, т.к. )

Решение:

1. Статистика критерия: - распределение с числом степеней свободы n=100

2. Вычисляем выборочное значение

3. Строим критические области:

o Для двусторонней гипотезы : :

Критические точки распределения

Правило принятия решения: Если , то нет основания отклонить гипотезу на уровне значимости a. А если, , то гипотезу отвергаем на уровне значимости a.

Т.к = 115,6925, (74,22; 129,6), следовательно, нет основания отклонить гипотезу на уровне значимости a.

o Для правосторонней гипотезы : :

Правило принятия решения: Если , то нет основания отклонить гипотезу на уровне значимости a. А если, , то гипотезу отвергаем на уровне значимости a.

Т.к. =115,6925, =124,42, то , следовательно, нет основания отклонить гипотезу на уровне значимости a.

Задача 4. Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности при неизвестном значении математического ожидания

Дано:

· X N(m;s) нормальное распределение

· n=100, D = =0,04, Ŝ ²=0,047598

· -уровень значимости, =0,05

-нулевая гипотеза:

Альтернативные гипотезы:

: (двусторонняя)

: (правосторонняя, так как )

Решение:

1. Статистика критерия: - распределение с числом степеней свободы n=99.

2. Вычисляем выборочное значение

3. Строим критические области:

o Для двусторонней гипотезы : :

Правило принятия решения: Если , то нет основания отклонить гипотезу на уровне значимости a. А если, , то гипотезу отвергаем на уровне значимости a.

Т.к =117,805, (73,36; 128,42), следовательно, нет основания отклонить гипотезу на уровне значимости a.

o Для правосторонней гипотезы : :

Правило принятия решения: Если , то нет основания отклонить гипотезу на уровне значимости a. А если, , то гипотезу отвергаем на уровне значимости a.

Т.к. =117,8051, =123,31, то , следовательно, нет основания отклонить гипотезу на уровне значимости a.

Задача 5. Проверка гипотезы о сравнении двух средних нормальных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки).

Дано:

Из исходной генеральной совокупности объемом 100 образуем две выборки X и Y объемами 25, пользуясь равномерным выбором четных и нечетных номеров исходной совокупности.

№	X	Y
	0,008773	0,344689
	0,535442	0,119368
	0,147189	-0,01698
	0,066067	0,039355
	0,203334	-0,25885
	0,132567	-0,1774
	0,300559	0,552588
	-0,30819	-0,15075
	0,222556	-0,23553
	-0,08034	0,373168
	0,089292	-0,15817
	0,087307	-0,21221
	0,019493	0,245472
	0,036681	0,016736
	0,272539	-0,1838
	0,1	0,162402
	0,393858	0,013824
	-0,05446	0,358679
	0,067558	0,067086
	0,259241	0,133257
	-0,00801	0,25068
	-0,22378	0,322043
	0,185362	0,04308
	0,357495	-0,21205
	0,180452	0,412725

Так как нет основания считать дисперсии каждой из выборок одинаковыми, то прежде, чем сравнивать их средние, необходимо по критерию Фишера - Снедекора проверить гипотезу о равенстве дисперсий.

I) Задача о сравнении двух дисперсий нормальных совокупностей.

По независимым выборкам Х и Y, объемы 25 (n₁=n₂), находим исправленные выборочные дисперсии и

0,03464629, где - средняя выборочная совокупности Х, =0,119639

0,05603852

, где - средняя выборочная совокупности Y, =0,073976

Ставится задача сравнить эти дисперсии (гипотеза об их равенстве) при некотором уровне значимости a.

Односторонняя область:

Нулевая гипотеза Н_о: D(X) = D(Y)

Конкурирующая гипотеза Н₁: D(X) > D(Y)

Решение:

Для того, чтобы при заданном уровне значимости a проверить нулевую гипотезу, надо вычислить наблюдаемое значение критерия F_наб.= и по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора по заданному уровню значимости a=0,05 с числом степеней свободы k₁ = n₁–1=24, k₂ = n₂–1=24 (где k₁ – число степеней свободы большей исправленной дисперсии) найти по таблице F – распределения критическую точку F_крит(a, k₁, k₂). Если выполняется неравенство F_наб < F_крит, то нет основания отвергнуть нулевую гипотезу, а если выполняется неравенство F_наб > F_крит, то нулевую гипотезу отвергают.

F_крит(a, k₁, k₂)= F_крит(0,05; 24, 24)=1,98

1,647<1,98 F_наб<F_крит нет основания отвергнуть нулевую гипотезу.

Двухсторонняя область:

Нулевая гипотеза Н_о: D(X) = D(Y)

Конкурирующая гипотеза Н₁: D(X) ¹ D(Y)

Решение.

Находим из таблицы Фишера-Снедекора критическую точку F_крит(a/2,k₁,k₂) по заданному уровню значимости a/2=0,025 и числу степеней свободы k₁=n₁–1=24, k₂ =n₂–1=24 (где k₁ – число степеней свободы большей исправленной дисперсии). Если выполняется неравенство F_наб < F_крит, то нет основания отвергнуть нулевую гипотезу, а если выполняется неравенство F_наб > F_крит, то нулевую гипотезу отвергают.

F_крит(a, k₁, k₂)= F_крит(0,025; 24, 24)=2,27.

1,034239<2,27 F_наб<F_крит нет основания отвергнуть нулевую гипотезу.

II) Задача о сравнении двух средних нормальных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы.

В работе рассмотрим только гипотезу о неравенстве средних значений.

Двухсторонняя область:

Нулевая гипотеза Н_о: m_Х = m_Y

Конкурирующая гипотеза Н₁: |m_Х - m_Y| > 0.

Для оценки m_Х и m_Y используем их наилучшие оценки и , а для оценки s² используем исправленные выборочные дисперсии.

Так как генеральные совокупности X и Y имеют одинаковые дисперсии, то для оценки s² целесообразно использовать результаты обоих выборок. Можно показать, что лучшей оценкой для s² в данном случае является

= (средняя взвешенная)

Если гипотеза Н_о справедлива, то случайная величина ( - ) подчиняется нормальному закону распределения с параметрами (0,s²(1/n₁ + 1/n₂)), т.к.

m( - )=m() – m()=0

s²( - )= s² () + s² ()=s²/n₁ + s²/n₂ =s²(1/ n₁ + 1/n₂)

Т.к. s² неизвестна, то в качестве статистики для оценки дисперсии s²( - ) принимается несмещенная оценка

=0,08*0,0453=0,003624

Статистика t = [( - )- М( - )]/ имеет t – распределение c число степеней свободы k = n₁+ n₂ -2=48.

Если гипотеза Н_о справедлива (средние равны), то статистику t можно записать в виде

t = ( - )/ = (0,119639 – 0,073976) / 0,055= 0,083

По выбранной надежности g=1-a=0,95, по таблице распределения Стьюдента определить критическое значение , для которого

P ( > ) = a

=1,677

Т.к. <1,667, т.е. < , следовательно, с надежностью g=1-a=0,95 расхождение средних можно считать незначимым (случайным) и гипотеза о равенстве средних принимается.