Общее уравнение прямой линии на плоскости

Линия, координаты точек которой удовлетворяют уравнению вида A·x + B·y + C = 0 является прямой линией на плоскости. Величины А, В и С являются параметрами линии.

· ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫРОЖДЕННОЙ МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

Определение 3.1. Квадратная матрица называется невырожденной (вырожденной), если её определитель отличен от нуля (равен нулю).

Определение 3.2. Если существуют квадратные матрицы и удовлетворяющие условию

где единичная матрица того же порядка, то матрица называется обратнойк матрице и обозначается символом

Теорема 3.1. Каждая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу и притом единственную.

Определение 3.3. Матрица полученная из матрицы заменой её элементов их алгебраическими дополнениями с последующим транспонированием, называется матрицей, присоединённой к матрице

Теорема 3.3. Если матрица невырожденная, то её обратная матрица имеет вид:

Пример. Дана матрица Составить обратную матрицу.

Для решения задачи воспользуемся теоремой 3.3 и запишем: существует. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы

Таким образом,

Определение 3.4. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) умножение какой-либо строки (столбца) матрицы на любое действительное число, отличное от нуля;

2) сложение какой-либо строки (столбца) матрицы с другой строкой (столбцом) матрицы, умноженной на любое действительное число;

3) перестановка строк (столбцов) матрицы местами;

4) удаление строк (столбцов) матрицы, содержащих только нули.

Определение 3.5. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Следующий способ обращения матриц основан на применении элементарных преобразований матрицы и состоит в реализации следующего алгоритма.

1. К матрице справа приписывается единичная матрица того же порядка, что и матрица Тем самым получается матрица

2. С помощью элементарных преобразований (определение 3.4), осуществляемых над матрицей на месте матрицы должна быть получена единичная матрица.

3. Матрица, полученная таким образом на месте единичной матрицы, и будет обратной для матрицы

Пример. С помощью элементарных преобразований найти матрицу, обратную данной:

Припишем к матрице справа единичную матрицу того же порядка, что и данная матрица. Получим следующую матрицу:

Над полученной матрицей будем производить строчечные элементарные преобразования так, чтобы на месте данной матрицы получилась единичная, тогда на месте единичной матрицы получится матрица Производимые элементарные преобразования будем сопровождать пояснениями. Сложим третью строку полученной матрицы с её первой строкой, умноженной на затем к первой строке прибавим вторую строку, умноженную на получим матрицу

Помножив первую строку этой матрицы на сложим её с третьей строкой, умноженной на а результат сложения запишем в первую строку:

Вторую строку полученной матрицы, умноженную на сложим с третьей строкой, умноженной на результат сложения поместим в третью строку:

Умножая последнюю матрицу на получим

Следовательно,

Теорема 3.4. Обращение матриц обладает следующими основными свойствами:

1.

2.

3.

Обращение матриц часто применяется при решении так называемых матричных уравнений. Рассмотрим линейное матричное уравнение вида

где заданная квадратная матрица порядка заданные матрицы размерности неизвестная матрица размерности

Перенесём матрицу в правую часть матричного уравнения:

Если матрица невырожденная, то, по теореме 3.1, существует обратная матрица Умножая полученное выше матричное уравнение на матрицу слева (порядок умножения матриц имеет значение, потому, как следует из утверждения «3» теоремы 1.1, произведение матриц некоммутативно), получим выражение

или

или

Выполняя действия в правой части последнего матричного уравнения, найдём неизвестную матрицу

Пример. Решить матричное уравнение Матрица невырожденная, поскольку её определитель отличен от ноля. Матрицу найдём любым из известных способов: Искомая матрица может быть найдена по формуле:

Выполняя указанные действия, получим решение матричного уравнения:

· ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Понятие производной и дифференциала функции в данной точке связано с понятием касательной в этой точке.

Пусть y = ¦(х) определена на интервале (a, b) и непрерывна в точке

х_о Î (а, в) и пусть у_о = f (х_о). Введем в рассмотрение точки:

М_о(х_о, у_о), х_о + h Î (а, в); М_h (х_о + h, f(х _о + h)).

Рис. 7.1.

Проведем секущую М_о М_h, тогда уравнение прямой, проходящей через две данные точки, можно записать

у = К(h) (х - х_о) + у_о,

где (7.1)

Покажем, что при h ® 0 расстояние r (M_о, M_h) ® 0, в этом случае будем говорить, что точка М_h ®M_о. Действительно, в точке х_о функция f - непрерывна, следовательно,

, а

В силу равенства (7.1) существование предела функции К(h) эквивалентно существованию производной (конечной или бесконечной), причем = К_о = f^/ (x_о).

Предельное положение секущей М_о М_h при h ® 0 называется касательной к графику f в точке х_о.

В результате мы пришли к следующей теореме.

Теорема 7.1. Пусть функция f непрерывная при х = х_о. В точке (х_о, f (х_о)) существует наклонная, касательная к графику функции f, тогда и только тогда, когда f имеет в точке х_о производную. При этом уравнение касательной имеет вид у = f^/(x_о) (x -x_о) + y_о и, значит, производная в точке х_о равна тангенсу угла наклона касательной к оси ОХ, а дифференциал в точке х_о равен приращению ординаты касательной.

Рис.7.2.

, тогда получим

PT = Dx × tg a = h × tg a = y^/ × dx = dy.

Таким образом, дифференциал функции у = f(х) в точке х_о равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х_о получает приращение D х.

Заметим, что Dу ¹ dy

То есть отсюда мы имеем приближенное равенство:

f(x_o + Dx) - f(x_o) @ f^/(x_o) × Dx (7.4) f(x_o + Dx) @ f(x_o) + f^/(x_o) × Dx (7.5)

Таким образом, наклонная касательная к графику функции обладает тем свойством, что разность ординат графика функции и этой касательной есть величина бесконечно малая по сравнению с приращением аргумента при х ® х_о.

· ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОКАЛЬНОГО МАКСИМУМА (МИНИМУМА)

Определение 1. Функция f (х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке [ а, b ], если для любых x ₁< x ₂ этого промежутка f (x ₁)< f (x ₂)(см. рис. 16 а) и f (x ₁)> f (x ₂)(см. рис. 16 б).

Функция возрастающая (убывающая) называется монотонной.

Теорема 1 (условия монотонности). Если функция f (х): 1. определена на [ а, b ], 2. имеет конечную производную f ^/ (x) на (а, b ], то, чтобы f (х) была возрастающей (убывающей) на [ а, b ], необходимо и достаточно, чтобы f ^/ (x) > 0, (f ^/ (x) < 0).

Пример 18. Найти интервалы монотонности функции y = 3 x – 3 x ³.

Решение. Область определения функции , f (х) дифференцируема всюду в области определения: f ^/ (x)= 3 – 3 x ².

Решим неравенство: f ^/ (x) > 0, то есть

– это интервал возрастания функции. Соответственно неравенство f ^/ (x) < 0, то есть 3 (1– x ²) < 0, справедливо для всех – это область убывания функции (см. рис. 17).

Определение 2. Точка x ₀ называется точкой локального максимума, если в некоторой её окрестности выполняется неравенство f (x)< f (x ₀), для всех х этой окрестности. Точка x ₀ называется точкой локального минимума, если .

Значение функции в точке x ₀ называется локальным максимумом (минимумом). Локальный максимум (минимум) называется локальным экстремумом функции f (х).

Теорема 2 (необходимое условие существования экстремума). Если f (х): 1. определена в окрестности точки x ₀, 2. дифференцируема в точке x ₀, 3. имеет в x ₀ локальный экстремум, то f ^/(x ₀) = 0.

Точки, в которых производная f ^/(x) = 0, называются критическими.

Замечание 1. В п. 1. дана геометрическая интерпретация производной как углового коэффициента касательной. Значит, в точке экстремума касательная параллельна оси абсцисс (см. рис.18).

Замечание 2. Функция может иметь экстремум и в точках, где первая производная не существует. Например (см. рис. 19),

Функция непрерывна в точке х =1, но не дифференцируема, так как

, .

Односторонние пределы не равны, значит y ^/ (x) не существует в точке x ₀ = 1, но функция, тем не менее, имеет в этой точке минимум. Такие точки называются угловыми.

Замечание 3. Выполнение необходимого условия экстремума (равенство нулю или бесконечности производной) не говорит о наличии экстремума.

Убедимся в этом на примере функции y = x ³: y ^/= 3 x ², y ^/ (0)=0, где х = 0 – критическая точка, но не экстремальная (см. рис. 20).

Теорема 3 (достаточное условие экстремума). Если функция f (х): 1. непрерывна в точке x ₀; 2. дифференцируема в некоторой её окрестности ; причём 3. f ^/ (x) = 0 либо не существует; 4. при переходе через точку x ₀ производная меняет знак, то x₀– точка экстремума, причём, если производная слева от x₀ отрицательна (функция убывает), а справа положительна (функция возрастает), то x₀– точка минимума. Если слева от x ₀ производная положительна (функция возрастает), а справа – отрицательна (функция убывает), то x ₀ – точка максимума.

Замечание. В промежутке между критическими точками производная сохраняет знак, следовательно, – это промежутки монотонности.

Теорема 4 (исследование на экстремум с помощью второй производной или второе достаточное условие экстремума). Если: 1) в точке x ₀ функция f (х) дифференцируема и f ^/ (x) = 0; 2) существует вторая производная в окрестности ; 3) ; то в точке x ₀ при f ^// (x) > 0 функция имеет минимум, а при f ^// (x) < 0 – имеет максимум.

· ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), и - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .

Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то и производная функции в этой точке не существует.

Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.

Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Проведем разграничения в природе понятий производной функции в точке и на промежутке: производная функции в точке – это есть число, а производная функции на промежутке – это есть функция.

Давайте разберем это на примерах для ясности картины. При дифференцировании будем пользоваться определением производной, то есть переходить к нахождению пределов. При возникновении трудностей рекомендуем обращаться к разделу теории пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.

Пример.

Найти производную функции в точке , используя определение.

Решение.

Так как мы ищем производную функции в точке, то в ответе должно быть число. Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента и воспользуемся формулами тригонометрии:

Осталось применить первый замечательный предел для получения конечного результата:

Ответ:

Давайте еще остановимся на одном очень важном моменте: область определения функции f(x) далеко не всегда совпадает с областью определения производной. Заметьте, в предыдущем примере областью определения исходной функции является промежуток , а производная определена на интервале . Что мы хотим этим сказать. Да то, что при дифференцировании в идеале ответ звучит так: функция является производной функции f(x) на промежутке

На основании определения производной получены многие формулы таблицы производныхосновных элементарных функций, которые очень ускоряют дифференцирование. Понятие производной также используется при доказательстве правил дифференцирования.

· ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Определение. Число А называется пределом функции у = f (x) в точке х ₀, если для всякого числа ε>0 существует такое число δ>0, что как только | x – x ₀| < (x ≠x ₀), то | f (x)– A | < ε
Обозначение: .
Определение. Функция у = f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если .
Из непрерывности основных элементарных функций и основных теорем о непрерывных функциях следует, что любая элементарная функция непрерывна во всякой точке, в которой она определена (при этом предполагается, конечно, что функция определена и в окрестности этой точки).
1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е. .
2. если и существуют.
3. , если и существуют.
4. если и существуют и .

Под знаком предела можно производить тождественные преобразования аналитического выражения, задающего функцию, не принимая во внимание поведение функции в предельной точке. Особый интерес приобретает случай преобразования аналитического выражения, задающего функцию f (х), в выражение, задающее функцию φ(х), непрерывную в самой точке х ₀ и совпадающую с f (х) в некоторой окрестности точки х ₀ без самой этой точки. Тогда очевидно,
(1)
Пример. Найти при:
а) х ₀=1; б) х ₀=2; в) х ₀ = ∞.
Решение. а) , .
Так как предел знаменателя отличен от нуля, можно применить теорему о пределе частного (свойство 4). Тогда
.
б) .
Имеем неопределенность вида , следовательно, теорему о пределе частного применить нельзя. Но в окрестности точки х =2 имеем 4 х ² – 9 х + 2 ≠ 0 (при х ≠ 2), и поэтому дробь можно сократить на х – 2. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители, воспользовавшись формулой ах ²+ bх + с = а (х – х ₁)(х – х ₂), где х ₁ и х ₂ – корни уравнения ах ² + bх + с = 0. Тогда


в) .
Имеем неопределенность вида . Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на х ², получим:

Ответ:

· ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

График функции.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция — это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной однозначно определяет значение выражения , а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.