Свойства определителей. 1. Если в определителе есть нулевая строка или нулевой столбец, то определитель равен 0

1. Если в определителе есть нулевая строка или нулевой столбец, то определитель равен 0.

2. При транспонировании определитель не меняет свое значение.

3. Если в определителе поменять местами две какие-либо строки или столбца, то знак определителя поменяется:

4. Если в определителе имеется две одинаковых строки или столбца, то определитель равен 0.

5. Общий множитель элементов какой-либо строки или какого-либо столбца можно вынести за знак определителя

6. Если в определителе есть пропорциональные строки, или столбцы, то определитель равен 0.

7. Определитель не меняет свое значение, если к любой строчке прибавить любую другую, умноженное на любое число.

· ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Например, уравнение

-

линейное, а уравнения

и

не являются линейными.

В общем виде система m уравнений с n переменными записывается так:

. (1)

Числа

называются коэффициентами при переменных, а
-
свободными членами.

Совокупность чисел

называется решением системы (1), если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.

Система mлинейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами. Найти значения и возможно только при условии, если
.
Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема 1 (Крамера). Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Если же , то система или несовместна, или неопределённа.

Пример 1. Решить систему:

. (2)

Согласно теореме 1 имеем:

Итак, решение системы (2):

Как явствует из теоремы 1, при решении системы уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай:

система имеет единственное решение.

Второй случай:
и
система совместна, но неопределённа. Это будет тогда, когда коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны, т.е.

Третий случай:
тогда
и система несовместна, так как в знаменателе неизвестных стоит нуль, т.е. неизвестные числовых значений не имеют.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной являются решениями другой, и наоборот.

Теорема 2. Если обе части некоторого уравнения системы n линейных уравнений с n переменными умножить на произвольное число и отнять от соответствующих частей другого уравнения, то получится новая система, эквивалентная первоначальной, т.е. они или обе несовместны или обе совместны и имеют одни и те же решения.

Следствие. Если конечное число раз от произвольных уравнений системы отнимать любые другие её уравнения, умноженные на постоянные величины, то получится система, эквивалентная первоначально.

Практически теорема 2 и следствие из него будут применены и разобраны при рассмотрении метода Гаусса решения системы n линейных уравнений с nпеременными.

· УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ В НОРМАЛЬНОМ ВИДЕ