![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Розкриття невизначеностей - методи обчислення меж функцій, заданих формулами, які в результаті формальної підстановки в них граничних значень аргументу втрачають сенс, тобто переходять у вирази типу:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
по яких неможливо судити про те, чи існують чи ні шукані межі, не кажучи вже про знаходження їх значень, якщо вони існують.
Найпотужнішим методом є правило Лопіталя, однак і воно не у всіх випадках дозволяє обчислити межа. До того ж прямо воно застосовується лише до другого і третього з перерахованих видів невизначеностей, тобто відносин, і щоб розкрити інші типи, їх треба спочатку привести до одного з цих.
Також для обчислення меж часто використовується розкладання висловів, що входять у досліджувану невизначеність, в ряд Тейлора в околиці граничної точки.
Для розкриття невизначеностей видів ,
,
користуються наступним прийомом: знаходять межа (натурального) логарифма висловлювання, що містить дану невизначеність. У результаті вид невизначеності змінюється. Після знаходження межі від нього беруть експоненту.
Для розкриття невизначеностей типу використовується наступний алгоритм:
Для розкриття невизначеностей типу іноді зручно застосувати наступне перетворення:
Нехай і
42.Умова сталості та умова монотонності функції.
Моното́нна фу́нкція — це функція, приріст якої не змінює знаку, тобто завжди або невід’ємний, або недодатній. Якщо при цьому приріст ще і не дорівнює нулю, то функція називається стро́го моното́нною.
Приклад незростаючої функції
Нехай дано функцію Тоді
.
.
.
.
43.Екстремуми функції, необхідні умови
.
44.Достатні умови екстремуму, перше правило.
Нехай а є критична точка функції , яка в цій точці є неперервною, і нехай існує окіл точки
, в якому
має похідну
, крім, можливо, точка а. Тоді:
1) якщо в інтервалі
похідна
, а в інтервалі
похідна
, то а є точкою максимуму функції
;
2) якщо в інтервалі , а в інтервалі
то а є точкою мінімуму функції
; 3) якщо в обох інтервалах
і
похідна
має той самий знак (набуває або тільки додатних, або тільки від’ємних значень), то
не є екстремальною точкою функції
.
Перше правило дослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функцію на екстремум, треба: 1) знайти стаціонарні точки даної функції (для цього слід розв’язати рівняння
, причому з його коренів вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками області існування функції). 2) знайти точки, в яких похідна
не існує (функція
в цих точках існує); 3) у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної першого порядку.
Теорема. Нехай точка є стаціонарною для функції
і нехай в цій точці існує похідна другого порядку
, яка не
дорівнює нулю, . Тоді, якщо
то
є точкою
мінімуму; якщо , - точкою максимуму функції
.
Друге правило дослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функцію на екстремум, треба знайти: 1) стаціонарні точки заданої функції 2) похідну другого порядку в стаціонарній точці. 3) якщо то в цій точці функція має максимум, якщо
мінімум.
45.Застосування похідних вищих порядків до дослідження на екстремуми.
якщо в точці x0 існує не тільки 1 похідна, яка рівна 0, але й похідні вищих порядків, то керуємося правилами:
1. якщо перша із похідних яка перетв в 0 в точці x0 є похідною непарного порядку, ф-ція в точці x0
екстему немає
2. якщо парного порядку, то маємо максимум, якщо відємного – мінімум
Правило знаходження екстремумів функції у = f(x) за допомогою першої похідної
1. Знайти похідну f’(x).
2. Знайти критичні точки функції у = f(x), тобто точки, в яких f(x) перетворюється в нуль або зазнає розриву.
3. Дослідити знак похідної f’(x) в проміжках, на які знайдені критичні точки ділять область визначення функції f(x). При цьому критична точка х0 є точка мінімуму, якщо вона відокремлює проміжок, в якому f'(х)<0, від проміжку, в якому f'(x)>0, і точка максимуму — в противному разі. Якщо в сусідніх проміжках, розділених критичною точкою x0, знак похідної не змінюється, то в точці x0 функція екстремуму не має.
4. Обчислити значення функції в точках екстремуму.
46. Найбільше та найменше значення функції
Нехай дано функцію , яка неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), за винятком можливо скінченого числа точок, де вона не існує. Необхідно ж знайти найбільше та найменше значення функції на цьому відрізку. А як відомо з математичного аналізу, функція, яка неперервна на відрізку, набуває на ньому свого найбільшого і найменшого значення. Щоб знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку необхідно:
1. знайти критичні точки в інтервалі (a;b) (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує), обчислити значення функції в цих точках;
2. м значення функції на кінцях відрізка, тобто ;
3. серед усіх значень вибрати найбільше і найменше значення.
У випадку, коли функція монотонна на відрізку [a;b], то найбільшого і найменшого значення вона досягає на кінцях відрізка. У цьому випадку обмежуємось обчисленням значень . По-іншому складається ситуація, якщо необхідно знайти найбільше та найменше значення функції, неперервної в інтервалі (a;b). Зрозуміло, що функція у цьому випадку не може досягати найбільшого і найменшого значення на кінцях інтервалу. Наприклад, функція
в інтервалі (3;6) не має ні найбільшого, ні найменшого значення у внутрішніх точках інтервалу. У цьому випадку чинять так:
1. знаходять критичні точки, що належать цьому інтервалу, і обчислюють значення функції в цих точках; 2. знаходять ліву та праву границі відповідно в точках а і b, тобто . Якщо ці границі існують, то їх порівнюють із значеннями функції в критичних точках. Якщо виявиться, що значення в критичних точках більші(менші) за знайдені границі, то це і буде найбільшим(найменшим) значенням функції на інтервалі.
47.Випуклі функції. Умова випуклості.Точки перегину.
Опукла функція — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності при всіх λ з проміжку [0, 1]. Нехай область визначення опуклої функції f (x) лежить в скінченовимірному просторі, тоді f (x) неперервна в будь якій внутрішній точці цієї області. Властивості опуклих функцій Нехай x 1,..., x m — будь які точки із області визначення опуклої функції f (x), λ1,..., λm — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють 1. Тоді
.
Якщо f (x) — двічі неперервно-диференційована опукла функція, то матриця її других похідних невід'ємно визначена.
Угнута функція або увігнута функція — протилежність до опуклої функції. До угнутих функцій належать неперервні функції з від'ємною другою похідною. Довільна неперервна фукнція не обов'язково або опукла, або угнута, але вона може бути опуклою або угнутою на певних інтервалах, розділених точками перегину. Дійсна функція f визначена на інтервалі (або на будь-якій опуклій множині C деякого векторного простору) називається угнутою, якщо для будь-яких двох точок x і y в її області визначення C і будь-якого t в [0,1], маємо
Функція називається строго угнутою, якщо
для будь-якого t в (0,1) і x ≠ y.
Для функції f: R → R, це означення просто стверджує, що для кожного z між x і y, точки (z, f (z)) на графіку f є вище прямої, що з'єднує точки (x, f (x)) і (y, f (y)). Функція f(x) є квазіугнутою, якщо множини верхнього контура функції є опуклими множинами.
48. Асимптоти графіка функції.
Асимптотою кривої y=f(x) називається пряма, до якої необмежено наближається точка кривої при необмеженому віддаленні її від початку координат. Розрізняють вертикальну, горизонтальну та похилу асимптоти.Вертикальна асимптота графіка функції y=f(x) називається пряма x=x0, якщо =
або
=
.Горизонтальною асимптотою графіка функції y=f(x) при x->
називається пряма y=b, якщо
.Похилою асимптотою графіка функції y=f(x) при x-> +
(x-> -
називаються пряма y=k1x+b1(y=k2x+b2), якщо існують границі
Тоді пряма y=k1x+b1 є правою похилою асимптотою кривої y=f(x),а пряма y=k2x+b2 є лівою похилою асимптотою.
Означення 1. Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції
, якщо хоча б одна з односторонніх границь
або
дорівнює
або
. Наприклад, пряма
є вертикальною асимптотою графіка функції
тому, що
,
.
Означення 2. Пряма називається похилою асимптотою графіка
при
або
, якщо
або
.
Теорема 1. (Знаходження похилої асимптоти). Для того щоб пряма була похилою асимптотою графіка функції
при
необхідно і достатньо, щоб існувала скінченні границі
,
.
Доведення. Необхідність
Нехай - асимптота при
, тобто
. Звідки
, де
- нескінченно мала при
.
Тоді .
Знайдемо границю останньої рівності при :
або
.
А з означення похилої асимптоти маємо або
Достатність. Нехай існують границі вказані в теоремі. А тоді з другої границі маємо , а тому
дійсно є похилою асимптотою графіка функції
при
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 787 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!