Розкриття невизначеностей

Розкриття невизначеностей - методи обчислення меж функцій, заданих формулами, які в результаті формальної підстановки в них граничних значень аргументу втрачають сенс, тобто переходять у вирази типу:

по яких неможливо судити про те, чи існують чи ні шукані межі, не кажучи вже про знаходження їх значень, якщо вони існують.

Найпотужнішим методом є правило Лопіталя, однак і воно не у всіх випадках дозволяє обчислити межа. До того ж прямо воно застосовується лише до другого і третього з перерахованих видів невизначеностей, тобто відносин, і щоб розкрити інші типи, їх треба спочатку привести до одного з цих.

Також для обчислення меж часто використовується розкладання висловів, що входять у досліджувану невизначеність, в ряд Тейлора в околиці граничної точки.

Для розкриття невизначеностей видів , , користуються наступним прийомом: знаходять межа (натурального) логарифма висловлювання, що містить дану невизначеність. У результаті вид невизначеності змінюється. Після знаходження межі від нього беруть експоненту.

Для розкриття невизначеностей типу використовується наступний алгоритм:

1. Виявлення старшого ступеня змінної;
2. Поділ на цю змінну як чисельника, так і знаменника.
3. Для розкриття невизначеностей типу існує наступний алгоритм:

1. Розкладання на множники чисельника і знаменника;
2. Скорочення дробу.

Для розкриття невизначеностей типу іноді зручно застосувати наступне перетворення:

Нехай і

42.Умова сталості та умова монотонності функції.

Моното́нна фу́нкція — це функція, приріст якої не змінює знаку, тобто завжди або невід’ємний, або недодатній. Якщо при цьому приріст ще і не дорівнює нулю, то функція називається стро́го моното́нною.

Приклад незростаючої функції

Нехай дано функцію Тоді

• функція називається зроста́ючою на , якщо

.

• функція називається стро́го зроста́ючою на , якщо

.

• функція називається спадною на , якщо

.

• функція називається стро́го спадною на , якщо

.

43.Екстремуми функції, необхідні умови

.

44.Достатні умови екстремуму, перше правило.

Нехай а є критична точка функції , яка в цій точці є неперервною, і нехай існує окіл точки , в якому має похідну , крім, можливо, точка а. Тоді:

1) якщо в інтервалі похідна , а в інтервалі похідна , то а є точкою максимуму функції ;

2) якщо в інтервалі , а в інтервалі то а є точкою мінімуму функції ; 3) якщо в обох інтервалах і похідна має той самий знак (набуває або тільки додатних, або тільки від’ємних значень), то не є екстремальною точкою функції .

Перше правило дослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функцію на екстремум, треба: 1) знайти стаціонарні точки даної функції (для цього слід розв’язати рівняння , причому з його коренів вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками області існування функції). 2) знайти точки, в яких похідна не існує (функція в цих точках існує); 3) у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної першого порядку.

Теорема. Нехай точка є стаціонарною для функції і нехай в цій точці існує похідна другого порядку , яка не

дорівнює нулю, . Тоді, якщо то є точкою

мінімуму; якщо , - точкою максимуму функції .

Друге правило дослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функцію на екстремум, треба знайти: 1) стаціонарні точки заданої функції 2) похідну другого порядку в стаціонарній точці. 3) якщо то в цій точці функція має максимум, якщо мінімум.

45.Застосування похідних вищих порядків до дослідження на екстремуми.

якщо в точці x₀ існує не тільки 1 похідна, яка рівна 0, але й похідні вищих порядків, то керуємося правилами:

1. якщо перша із похідних яка перетв в 0 в точці x₀ є похідною непарного порядку, ф-ція в точці x₀

екстему немає

2. якщо парного порядку, то маємо максимум, якщо відємного – мінімум

Правило знаходження екстремумів функції у = f(x) за допомогою першої похідної

1. Знайти похідну f’(x).

2. Знайти критичні точки функції у = f(x), тобто точки, в яких f(x) перетворюється в нуль або зазнає розриву.

3. Дослідити знак похідної f’(x) в проміжках, на які знайдені критичні точки ділять область визначення функції f(x). При цьому критична точка х0 є точка мінімуму, якщо вона відокремлює проміжок, в якому f'(х)<0, від проміжку, в якому f'(x)>0, і точка максимуму — в противному разі. Якщо в сусідніх проміжках, розділених критичною точкою x₀, знак похідної не змінюється, то в точці x₀ функція екстремуму не має.

4. Обчислити значення функції в точках екстремуму.

46. Найбільше та найменше значення функції

Нехай дано функцію , яка неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), за винятком можливо скінченого числа точок, де вона не існує. Необхідно ж знайти найбільше та найменше значення функції на цьому відрізку. А як відомо з математичного аналізу, функція, яка неперервна на відрізку, набуває на ньому свого найбільшого і найменшого значення. Щоб знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку необхідно:

1. знайти критичні точки в інтервалі (a;b) (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує), обчислити значення функції в цих точках;

2. м значення функції на кінцях відрізка, тобто ;

3. серед усіх значень вибрати найбільше і найменше значення.

У випадку, коли функція монотонна на відрізку [a;b], то найбільшого і найменшого значення вона досягає на кінцях відрізка. У цьому випадку обмежуємось обчисленням значень . По-іншому складається ситуація, якщо необхідно знайти найбільше та найменше значення функції, неперервної в інтервалі (a;b). Зрозуміло, що функція у цьому випадку не може досягати найбільшого і найменшого значення на кінцях інтервалу. Наприклад, функція в інтервалі (3;6) не має ні найбільшого, ні найменшого значення у внутрішніх точках інтервалу. У цьому випадку чинять так:

1. знаходять критичні точки, що належать цьому інтервалу, і обчислюють значення функції в цих точках; 2. знаходять ліву та праву границі відповідно в точках а і b, тобто . Якщо ці границі існують, то їх порівнюють із значеннями функції в критичних точках. Якщо виявиться, що значення в критичних точках більші(менші) за знайдені границі, то це і буде найбільшим(найменшим) значенням функції на інтервалі.

47.Випуклі функції. Умова випуклості.Точки перегину.

Опукла функція — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності при всіх λ з проміжку [0, 1]. Нехай область визначення опуклої функції f (x) лежить в скінченовимірному просторі, тоді f (x) неперервна в будь якій внутрішній точці цієї області. Властивості опуклих функцій Нехай x ₁,..., x _m — будь які точки із області визначення опуклої функції f (x), λ₁,..., λ_m — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють 1. Тоді

.

Якщо f (x) — двічі неперервно-диференційована опукла функція, то матриця її других похідних невід'ємно визначена.

Угнута функція або увігнута функція — протилежність до опуклої функції. До угнутих функцій належать неперервні функції з від'ємною другою похідною. Довільна неперервна фукнція не обов'язково або опукла, або угнута, але вона може бути опуклою або угнутою на певних інтервалах, розділених точками перегину. Дійсна функція f визначена на інтервалі (або на будь-якій опуклій множині C деякого векторного простору) називається угнутою, якщо для будь-яких двох точок x і y в її області визначення C і будь-якого t в [0,1], маємо

Функція називається строго угнутою, якщо

для будь-якого t в (0,1) і x ≠ y.

Для функції f: R → R, це означення просто стверджує, що для кожного z між x і y, точки (z, f (z)) на графіку f є вище прямої, що з'єднує точки (x, f (x)) і (y, f (y)). Функція f(x) є квазіугнутою, якщо множини верхнього контура функції є опуклими множинами.

48. Асимптоти графіка функції.

Асимптотою кривої y=f(x) називається пряма, до якої необмежено наближається точка кривої при необмеженому віддаленні її від початку координат. Розрізняють вертикальну, горизонтальну та похилу асимптоти.Вертикальна асимптота графіка функції y=f(x) називається пряма x=x0, якщо = або = .Горизонтальною асимптотою графіка функції y=f(x) при x-> називається пряма y=b, якщо .Похилою асимптотою графіка функції y=f(x) при x-> + (x-> - називаються пряма y=k1x+b1(y=k2x+b2), якщо існують границі Тоді пряма y=k1x+b1 є правою похилою асимптотою кривої y=f(x),а пряма y=k2x+b2 є лівою похилою асимптотою.

Означення 1. Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоча б одна з односторонніх границь або дорівнює або . Наприклад, пряма є вертикальною асимптотою графіка функції тому, що , .

Означення 2. Пряма називається похилою асимптотою графіка при або , якщо або .

Теорема 1. (Знаходження похилої асимптоти). Для того щоб пряма була похилою асимптотою графіка функції при необхідно і достатньо, щоб існувала скінченні границі , .

Доведення. Необхідність

Нехай - асимптота при , тобто . Звідки , де - нескінченно мала при .

Тоді .

Знайдемо границю останньої рівності при :

або .

А з означення похилої асимптоти маємо або

Достатність. Нехай існують границі вказані в теоремі. А тоді з другої границі маємо , а тому дійсно є похилою асимптотою графіка функції при .