Друга визначна границя

lim при х->0 = е

Друга визначна границя розкриває невизначеність

15. Властивості функцій, що мають границю.

1) Якщо функції і мають границі при , який прямує до , то функції , , також мають границі при , який прямує до і

,

,

.

В останньому випадку припускається, що функція не перетворюється в нуль в досить малому околі точки і .

2) lim(c* f(x)) при x-> = c* lim f(x) при x-> , де с = const

3)lim = (lim

16. Границя монотонної функції. Загальний критерій Больцано - Коші. Існування границі функцій в точці.

Границя монотонної функції

Якщо для будь –яких значень х’, х належить Х, х’>x випливає (=>) f(x)

х’, х з того, що х’>x випливає f(x’)< f(x) є спадною.

Означення не зростаючої та неспадної функцій

Т1. Якщо функція f(x) монотонно зростає, для значень х близьких до а(точки згущення) і для цих значень х функція є обмежена зверху, то при х->a вона(функція) має скінченну границю, а якщо вона не обмежена при виконанні цих умов, то її границею є невласне число +∞.

Т2. Якщо функція f(x) є спадною, для значень х близьких до а, де а - точки згущення і для цих значень х функція є обмежена знизу, то при х->a вона має скінченну границю, а якщо вона необмежена при виконанні цих умов, то її границею є невласне число -∞.

Загальний критерій Больцано – Коші

Для того, щоб варіанта , мала скінченну границю необхідно й достатньо, щоб для будь-якого ε>0 існував такий номер чи число, яке залежить тільки від ε і для будь-яких n>N(ε) i n’ > N(ε), виконувалась нерівність | - ’|< ε

Існування границі функції в точці

Нехай функції f(x) визначена на інтервалі (a;b) крім, можливо самої точки (a;b).

Число А називається границею f(x) в точці , якщо для будь-якої послідовності { }, (a;b), ǂ , такої, що lim при n -> ∞ = , послідлвність {f()} збігається до числа А, тобто lim f() при n->∞ =А. У такому разі записують lim f(x) при x-> = A.

Це охначення границі функції в точці за Гейне або «мовою послідовностей».

Означення границі функції за Коші або «мовою ε-δ» формулюється так: число А називається границею функції у точці , якщо

Позначення:

або

при

Односторонні границі

Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя). Тобто, по суті, є сенс говорити про односторонні границі функції у деякій точці тоді, коли у цій точці лівостороння границя функції не дорівнює правосторонній.

• Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

• Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

• Використовуються також наступні скорочення:
• для правої границі;
• для лівої границі.

17. Означення неперервності функції в точці. Дії над неперервними функціями.

Функція f називається неперервною в точці якщо:

1. функція f(x) визначена в точці x₀.

2. існує границя

3. .

Означення неперервності в точці за Коші

Функція f називається неперервною в точці якщо: , що =>

Означення неперервності в точці за Гейне

Функція f називається неперервною в точці якщо: , якщо , то .

18. Точки розриву та їх класифікація.

Точка розриву - це така точка (значення аргументу) в якій функція не є неперервною.

Розрізняють такі види точок розриву:

Розрив називають усувним, якщо в даній точці існує границя функції, що не збігається з значенням функції.

Точку називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі в даній точці, та вони не збігаються.

Якщо хоча б одна одностороння границя не існує, чи нескінченна, то точку називають точкою розриву другого роду.

19. Неперервність монотонної функції. Неперервність елементарних функцій.

Якщо функція f(x) монотонно зростаюча на деякому проміжку Х і своїми значеннями заповнює даний проміжок повністю то вона на цьому проміжку неперервна.Монотонно зростаюча(спадна) функція може мати розриви тільки першого роду. Роздивившись графіки основних елементарних функцій, зауважимо, що вони всі неперервні на своїх областях визначення (лінії не розриваються в точках х є D_f). Тоді із означення елементарної функції і зауваження отримуємо важливу теорему.

Теорема. Елементарна функція є неперервною на своїй області визначення.

Основними елементарними функціями є степенева х в степені а показникові а в степені х логарифмічна тригонометрична оберненотригометрична.

20. Неперервність складеної функції. Застосування неперервності до обчислення границь.

Функція у = F(u), де u = j(x), називається складною (складеною) функцією, або суперпозицією функцій F(u) та j(х), і позначається y = F(j (x)).Якщо j(x) неперервна в точці х=а а функція F(u) неперервна у відповідній точці j(а) то функція F(j(x)) – неперервна в точці х=а. Якщо f неперервна (наприклад елементарна), то можна заносити границю в аргумент: . Приклад. .

21. Перша і друга теорема Больцано-Коші.

Перша теорема Больцано-Коші. Якщо функція є непевною на відрізку і на кінцях цього відрізку набуває значень різних значень то всередині цього відрізка існує принаймні одна точка с, що .

Друга теорема Больцано-Коші. Множиною значень функції ,

22. Існування оберненої функції.

Теорема про існування оберненої функції. Якщо функція є зростаючою (спадною) і неперервною на відрізку , то існує обернена функція , яка є непевною і зростаючою (спадною) на проміжку

23. Перша і друга теорема Вейрштраса. Теорема Кантора та наслідок з неї.

Якщо функція f(x) визначна і неперервна в замкнутому проміжку то вона на цьому проміжку обмежена. Друга теорема Вейєрштраса. Якщо функція f(x) визначна і неперервна в замкнутому проміжку то на цьому проміжку вона досягає свого найбільшого і найменшого значення. Теорема Кантора. Якщо функція f(x) визначена і неперервна в замкнутому проміжку то вона на цьому проміжку рівномірно неперервна.Наслідок Якщо функція f(x) визначена і неперервна на замкненому проміжку то для Е>0 знайдеться б>0 таке що якщо цей проміжок розбити на відрізки менші з б то коливання функції на кожному з них буде менше за Е.

24. Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної.

Геометричний зміст похідної визначає кутовий коефіцієнт дотичної, а швидкість виражає фізичний зміст похідної.Можна похідну від функції в точці розглядати як швидкість зміни функції в цій точці. Похідною функції f(x) у точці х0 називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х0 до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x0).

25. Похідна оберненої функції. Похідні основних елементарних функцій.

Похідні основних елементарних функцій

Похідна оберненої функції

Похідна елементарної функції є також елементарною функцією.

26. Формули для приросту функції. Зв’язок з диференційованістю і неперервністю функції.

f(б)- f(а)= f'(с) (б-а), хє(а,б) х+дельта х є(а,б), f(х+дельта х)!= f(х) звідси отримуємо формулу скінченних приростів. f(х+дельта х)- f(х)=f'(с)*дельта х. Якщо функція у = f(x) диференційована в деякій точці х0, то вона в цій точці неперервна. 3 цієї теореми випливае, що неперервність функції є необхідною умовою диференційованості функції. Це означае, що в точках розриву функція немає похідної, тобто вона не диференційована.

27.Найпростіші правила диференціювання. Похідні оберненої функції. Похідна складеної функції.

1. Зв*язок диференційованості з неперервністю: якшо функція f диференційована в точці x, то вона неперервна у цій точці. Проте не кожна неперервна в точці функція є диференційованою.

2. Диференційованість суми, різниці, добутку та частки: якщо функції f і g диференційовані в точці ч, то f±g, fg I f/g також диференційована в цій точці. При цьому:

3. Диференційованість лінійної комбінації: якщо функції f_k , , диференційовані в тчці х, а с_k, -деякі сталі, то функція F(x)=

4. Диференційованість складної функції: нехай функція f диференційована в точці -диференційована в точці х. Тоді складна функція диференційована в точці х і

5. Диференційованість оберненої функції: нехай функція f строго монотонна і непевна на проміжку ˂а:b˃ та диференційована в точці х є ˂а:b˃, причому Тоді обернена до f функція f^-1 (y) диференційована в точці y=f(x). При чому (f^-1 )’ (y)=1/f ’(x)

Похідна складеної функці: u(x)=sin(cos² x) і v(x)=cos(sin² x)

y ^’ =(sin(cos²x)) ‘cos(sin²x)+(cos(sin²x)) ‘ sin(cos²x).

Про оберонену ф-цію

y=f(x) зад. Умови теореми про існування оберненої ф-ції і в т. x₀ має скінченну відмінну від 0 похідну то обернена ф-ція g(y) у відп. т. y₀=f(x₀) має похідну g(x)=1/g(x₀)

Похідну від оберненої тригон. Ф-ції можна обчислити на підставі теореми про похідну від оберненої ф-ції.

28.Односторонні та нескінченні функції.

u= (x) має похідну в т. Х_0.

Нехай (x) має похідну в т. Х_0, а ф-ція y=f(u), має похідну y' відп. т. u₀ = (Х₀) тоді складена y= fu(x) має похідну при чому y'=f '_u( Х₀) Х₀). Якщо т. Х є лівим або правим кінцем то говоримо про похідну як про границю відношення приросту аргумента до приросту функції:

1. Лівий кінець приросту аргумента є «+»

2. Правий «- «

Йде мова про односторонні похідні.

Граничне відношення

-існує але =±∞

= - 0 в такому випадку говорять про нескінченну похідну.

29. Основні теореми диференціального числення(Ферма, Дарбу, Ролля, Лагранжа, Коші).

Теорема Ролля.

Нехай функція f неперервна на відрізку [a,b] і дифиринційована в інтервалі (a,b) і f(a)=f(b). Тоді с Є(a,b): f ‘(c)=0.

Лагранжа.

Нехай функція f неперервна на відрізку [a,b] і дифиренційована в інтервалі (a;b). Тоді с Є (a;b): f(b)-f(a)=f ‘(c) (b-a).(формула скінченних приростів.)

Коші.

Нехай функція f і g неперервні на відрізку [a;b], диференційовані в інтервалі (a;b) і g ‘(x)≠0 x “(a;b). Тоді с Є(a; b):

Теорема Ферма.

Нехай функція f(x) неперервна на інтервалі (a;b) і набуває свого найбільшого або найменшого значення у деякій точці с. Тоді якщо с існує похідна f ‘(c)? Mo f ‘ (c)=0

Теорема Дарбу.

Ф-ція f(х) визначена на Х і вн. Т. цього проміжку найб. або найм. зн. Приймає найбільше або найменше своє значення. Якщо ф-ція має скінченну похідну то вона =0.

-х<x₀ mo f(x)<f(x₀)

-x> x₀ mo f(x)<f(x₀).

З геометричної точки зору це означає що дотична до кривої y=f(x) є горизонтальною.

30 Означення диференціала. Основні правила диференціювання.

Нехай функція у = f (х) диференційовна в інтервалі (а, b), х (а, b).

Згідно з означенням похідної функції у = f (х) маємо

Змінна величина відрізняється від своєї границі на не­скінченно малу , тому

Функція диференційовна в точці х, тому вона неперервна в цій точці, але тоді при величини будуть нескінченно малими. Порядок малості цих трьох величин різний: мають однаковий порядок малості, а величина є нескінченно малою вищого порядку малості. Отже, при перший доданок у правій частині рівності (8) є головною части­ною приросту функції. Він є лінійним відносно .

(Означення 3.3. Якщо функція має похідну в точці , то вираз називається диференціалом (differential) функції в цій точці і позначається символом . )

Означення. Головну лінійну частину приросту функції нази­вають диференціалом цієї функції. Диференціал функції у = f (х) позначають dy або d f (x). Таким чином,

тобто для знаходження диференціала функції у = f (х), що має похідну в точці х, треба помножити значення цієї похідної на приріст аргумента або на d x ( = d x).

З рівності

(9)

одержимо, , тобто похідна функції дорівнює відношенню диференціала функції до диференціала незалежної змінної.

Диференціали часто застосовують для знаходження наближених значень функції.

Основні правила диференціювання.

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю.

y = c, то y΄ = 0

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченого числа диференційованих функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій

Теорема 3 Похідна добутку двох диференційованих функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

Теорема 4 Сталий множник виносимо за знак похідної

(cu)΄ = cu΄, де c = const

Теорема 5 Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовані функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різниця добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат знаменника початкового дробу

Зауваження: Похідна від функції, де с = const:

Похідні від основних елементарних функцій.

Наприклад:

1.

31. Інваріантність форми диференціалу першого порядку

Для диференційовної функції , причому для незалежної змінної .

Нехай функції та - диференційовні і задають складну функцію . Тоді , але . Тому , де - диференціал функції .

Отже, диференціал першого порядку зберігає свою форму, тобто диференціал першого порядку має один і той же вигляд, який не залежить від того чи - незалежна змінна чи функція.

На основі цієї властивості маємо наступні правила для обчислення диференціалу першого порядку:

1) ;

2) ;

3) .

_____________________________________________________________
32. Застосування диференціала в наближених обчисленнях

З означення похідної функції в точці випливає, що її приріст можна подати у вигляді: , де , якщо .

Отже, при малих має місце наближена рівність:

, тобто .

Звідки

. (3.12)

Формула (3.12) дозволяє знаходити значення функції в точці , якщо відомі значення і , з точністю

,

де .

Приклад 3.13. Наближено обчислити значення .

Розв’язання. В даному випадку , . Покладемо , що відповідає в градусній мірі;

.

За формулою (3.12), отримаємо:

,

тобто .

Для того, щоб оцінити абсолютну і відносну похибки, скористаємось більш точним значенням, отриманим за допомогою калькулятора: . Тоді , а відносна похибка дорівнюватиме:

.

Приклад 3.14. Наближено обчислити значення .

Розв’язання. В даному випадку .

Нехай , , тоді і за формулою (3.12): , отримаємо, що:

.

Використовуючи калькулятор, отримаємо: . Тоді , а відносна похибка дорівнюватиме:

33 Похідні вищих порядків

Нехай на існує похідна , яка, в свою чергу, є диференційованою на .

Означення 1. Похідна від похідної першого порядку, тобто , називається похідною другого порядку або другою похідною функції і позначається , , , .

Отже, або .

Якщо на існує , яка, в свою чергу, є диференційовною на , то похідна третього порядку функції на це .

Аналогічно, похідна четвертого порядку і так далі. Похідна -го порядку функції на

.

Означення 2. Функція, яка має похідну -го порядку на ( -у похідну) називається раз диференційовною на . Якщо ж -а похідна є ще й неперервною на , то функція називається раз неперервно диференційовною на .

У загальному випадку для обчислення похідної вищого порядку потрібно знайти спочатку похідні всіх нижчих порядків. В окремих випадках вдається встановити загальний вираз для похідної -го порядку.

Знайти похідну -го порядку для наступних функцій.

1. ; ; ; ; …;

або .

Зокрема, якщо , то .

2. ; ;

;

;

і т.д.

Отже, .

3. ; ;

;

;

і т.д.

Отже, .

4. ; ;

;

;

і т.д. Отже, .

34.Диференціали вищих порядків. Порушення інваріантності форми.

Диференціалом другого порядку функції називається диференціал від диференціала першого порядку і позначається , тобто . Аналогічно, і т.д. І взагалі, диференціалом -го порядку називається диференціал від диференціала -го порядку, тобто .

За означенням

Отже, якщо - незалежна змінна, то . Аналогічно, .

З останньої формули маємо, що при довільному ,

тобто похідну -го порядку функції можна записати як відношення її диференціала -го порядку до -го степеня диференціалу аргумента.

35.Похідні вищих порядків від функцій, заданих параметрично.

Похідна від похідної першого порядку, тобто , називається похідною другого порядку або другою похідною функції і позначається , , , .

Отже, або .

Якщо на існує , яка, в свою чергу, є диференційовною на , то похідна третього порядку функції на це .

Аналогічно, похідна четвертого порядку і так далі. Похідна -го порядку функції на

.

36.Формула Тейлора для многочленів та довільних функцій.

Формула Тейлора використовується при доведенні багатьох теорем у диференціальному численні. Якщо говорити нестрого, то формула Тейлора показує поведінку функції в околі деякої точки.

Теорема:

· Нехай функція має похідну в деякому околі точки ,

· Нехай

· Нехай — довільне додатнє число

тоді: при або при :

Це формула Тейлора із залишковим членом у загальній формі.

37. Формула Тейлора для основних елементарних функцій.

Нижче наведені розклади за формулою Тейлора деяких основних функцій, що вірні для комплексних і дійсних x.

Експонента і натуральний логарифм:

для

Геометричний ряд:

для

Біноміальний розклад:

для і усіх комплексних

Тригонометричні функції:

для

для

для

для

Гіперболічні функції:

для

для

для

38.Різні форми залишкового члена у формулі Тейлора.

Залишкові члени у формі Лагранжа, Коші́ і Пеа́но

послабимо припущення:

· Нехай функція має похідних у деякому околі точки

· І похідних у самій точці

тоді:

39. Застосування формули Тейлора до наближених обчислень.

Для функції, яка диференційовна раз включно в околі точки має місце формула Тейлор а:

,

Останній доданок у формулі Тейлора

називають залишковим членом у формі Лагранжа, і якщо похідна обмежена, то він прямує до нуля при .
При ця формула набуває вигляду:
, де
Її називають формулою Маклорена.

40. Правило Лопіталя-Бернуллі. Розкриття невизначеності 0/0 та ∞/∞.

Правило Лопіталя.розкриття невизначеностей типу 0/0 …(1*-всюди те саме)

Теорема 1:нехай: 1*)функція f(x) та g(x) –визначені на відрізку[a;b]; 2*)Існують і ; 3) існують скінченні похідні f’(a)≠0 i g’(a) ≠0;Тоді . Теорема 2:нехай1*)-//-;2*)-//-; 3)існує похідна I ; Тоді . Теорема 3:нехай 1*)-//-;2-//-; 3)існують і на проміжку[a;b] і , то і ;Теорема 4: 1)якщо f(x) і g(x) визначені на проміжку[a;b];2) і ;3)існують f’(х) i g’(х) ≠0 хє(a;b]$; Тоді існує , то і ;Зауважимо, що границя відношення похідних може не існувати у той час як границя функцій існує.