Постановка задач оптимального управления и их классификация

Задача синтеза оптимального управления может быть сформулирована как вариационная задача. Полагаем, что эволюция системы в фазовом пространстве задается в нормальной форме

(6.1)

где x(t)=(x(t),…, x_n(t))^Т – n-мерный фазовый вектор,

u(t)=(u₁(t),…,u_r(t)) ^Т – r-мерный вектор управления,

f(t)=(f₁(x,u,t),…,f_n(x,u,t)) ^Т – заданная вектор функция.

На управление и фазовый вектор могут быть наложены ограничения в виде уравнений связи:

(6.2)

или в виде включений

, (6.3)

где и - допустимые множества для вектора управления и фазового вектора.

Краевые (граничные) условия представляют собой ограничения на фазовый вектор в начальный t₀ и конечный t_f моменты времени. Эти условия могут носить как жесткий характер типа уравнений

(6.4)

так и ограничения типа включений:

(6.5)

где x(t₀) и x(t_f) называются левым и правым концом траектории соответственно.

Критерий оптимальности системы, являющийся числовой оценкой качества управления при достижении цели, задается в виде функционала:

(6.6)

Задача оптимального управления формулируется следующим образом. При заданных уравнении движения (6.1), ограничениях (6.2) и/или (6.3) и краевых условиях (6.4) и/или (6.5) требуется найти такое программное управление u^*(t) или управление с обратной связью u^*(x^*(t),t) и фазовую траекторию x^*(t) при которых критерий достигает минимального (максимального) значения. Управление u^*(t), u^*(x^*(t),t) и траектория x^*(t) называется оптимальными и зачастую именно пару (u^*(t), x^*(t)) называют решением задачи оптимизации.

По виду ограничений разделяют задачи оптимального управления на:

1. Классического типа, когда ограничения задаются в виде равенств:

.

2. Неклассического типа, когда ограничения задаются в виде включений, которые приводят к ограничениям в виде неравенств:

.

Задачи неклассического типа можно преобразовать к классическому типу с помощью дополнительных переменных, что однако усложнит характер решаемой краевой задачи.

По типу краевых условий можно различать:

1. Задачи с фиксированными (закрепленными) концами, когда допустимые множества X₀ и X_f в (6.5) состоят из одной точки:

2. Задачи с подвижными концами, когда X₀ или X_f, либо X₀ и X_f одновременно в (6.5) состоят из множества точек, т.е. подвижными являются левый или правый конец или оба конца подвижны одновременно.

Предельным случаем "подвижности" является случай, когда правый конец x_f является просто свободным, без каких-либо наложенных условий. В этом случае допустимое множество X_f совпадает со всем фазовым пространством Rⁿ.

Можно выделять и задачи с фиксированными и нефиксированными моментами начала и конца процесса управления.

По структуре критериев оптимальности можно различить:

1. Задачу Больца, в которой критерий имеет вид:

2. Задачу Лагранжа, где

3. Задачу Майера, в которой критерий приобретает точечный характер

Задачу Майера в частном случае, когда функционал имеет вид , называют задачей терминального управления, а если J = t_f – t₀, то такую задачу называют задачей максимального быстродействия.

Как известно [2] путем преобразования переменных можно перейти от одной задачи к другой и в этом смысле они эквивалентны. Однако в реальных задачах для наглядности лучше решать задачи оптимизации в исходном виде без преобразования переменных. При использовании численных методов решения краевых оптимизационных задач целесообразно приведение условий задачи к некоторому стандартному виду с обратным преобразованием полученных результатов, выполняемым на ЭВМ.

Задача управления системой при фиксированных концах и времени процесса

Эта задача формулируется как задача Лагранжа: требуется найти допустимую пару (x(t) u(t)), удовлетворяющую: уравнениям динамики (эволюции) системы

, (6.10)

ограничениям в виде равенств (уравнений), налагаемым на координаты и управление

, (6.11)

краевым условиям

, (6.12)

и обеспечивающую минимум функционалу

(6.13)

Используя методы вариационного исчисления (см. приложение 1) можно записать функцию Лагранжа

(6.14)

и необходимое условие экстремума функционала, выражаемое уравнениями Эйлера – Лагранжа (П1.15), где варьируемыми переменными являются координаты векторов x(t) = (x₁(t),…, x_n(t))^Т и u(t) = (u₁(t),…, u_r(t))^T­:

(6.15)

Если ввести функцию Гамильтона (П1.28)

(6.16)

то система уравнений (6.15) приобретает вид:

(6.17)

где последнее уравнение часто называют условием стационарности.

Оптимальную пару (x^*(t),u^*(t)) находим из решения системы дифференциальных уравнений (6.15) или (6.17) совместно с (6.10) с использованием краевых условий (6.12). Параметры и , возникающие при решении задачи участвуют в решении задачи, но не требуют своего обязательного окончательного определения. Величину полагают равной –1, т.к. обычно решают задачу минимизации (см. Приложение 1).

Пример. 6.1. Требуется объект, описываемый системой уравнений перевести из начального состояния x₁(t₀) = x₁(t₀) = 1 в начало координат за время Т =1 (т.е. t₀=0, t_f = 1, x₁(t_f) = x₂(t_f) = 0), обеспечив минимум функционала

который отражает "энергетические" затраты на управление.

Решение. Составляем функцию Гамильтона:

и соответствующие уравнения Эйлера – Лагранжа:

Решая последовательно эти уравнения получим управление , подставляя которое в уравнения для , а затем для , получим выражения:

константы в которых найдем из краевых условий и получим С₃ = С₄ = 1, С₁ = -18, С₂ = -10, а в итоге оптимальное управление и траектория имеют вид: