Критерий управляемости такой системы формулируется следующим образом

Для управляемости системы (3) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы в (4) был равен . В этом случае пара матриц называется управляемой.

Действительно, пусть система (3) управляема, но . Тогда найдется ненулевой вектор такой, что или, что то же самое, и , а из (4) следует, что

. (5)

На основании теоремы Гамильтона-Кэли матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению, а поэтому

. (6)

Тогда, умножив (6) справа на В и слева на и учитывая (5), получим

.

Умножив (6) на А слева, получим , а справа меняем степени А от первой до n-ой. Но , используя (6), заменим линейной комбинацией степеней А от (n-1) до 0. Следовательно, для любого выполняется или окончательно

j=0, 1, 2,.. (7)

Согласно формуле Коши, решение для (3) с нулевым начальным условием можно представить в виде

, (8)

где exp{A(t)} есть решение однородного уравнения:

.

Разлагая в (8) в ряд и используя (5), получим:

. (9)

Это означает, что при любом управлении траектория лежит в некотором подпространстве , ортогональном ненулевому вектору , а следовательно, не все точки достижимы, а это противоречит условию управляемости.

Необходимость условия доказана, а для доказательства достаточности нужно доказать, что, если ранг матрицы управляемости равен , то система управляема.

Для линейных дискретных систем, описываемых разностным уравнением

, , , ,

можно записать:

а следовательно, для перевода системы за k шагов из произвольного начального состояния в любое заданное состояние необходимо и достаточно

.

Для линейных стационарных систем

, , , .

где матрицы и постоянны

,

а следовательно, если

,

то при любом можно указать такие , при которых достигается. Тогда равенство

является необходимым и достаточным условием управляемости системы.

Если управление системой производится по выходу

, ,

то необходимым и достаточным условием управляемости системы по выходу является равенство ранга матрицы

величине . Это условие справедливо, естественно, и для непрерывных систем.

2. Поиск оптимальных решений методом ненаправленного поиска и с "поощрением" и "наказанием" случайностью