Лекция № 17. Некоторые пределы, связанные с показательной и логарифмической функциями. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1. .

Доказательство. .

Замечание. В частности, если , то имеем .

Теорема 2. .

Доказательство. Пусть . Тогда . Если , то . Поэтому .

Замечание. В частности, если , то имеем .

Теорема 3. .

Доказательство. Пусть . Тогда или . Если , то . Поэтому получаем .

Таким образом установлена эквивалентность следующих бесконечно малых функций при : ~ ; ~ ; ~ .

Если функция не является непрерывной в точке , то ее называют разрывной в этой точке, а точку - точкой разрыва. Функция может иметь разрыв в точке в следующих случаях:

1) не существует ;

2) существует, но .

3) функция неопределена в точке , но определена в некоторой проколотой окрестности этой точки.

Пусть - точка разрыва функции . Ее называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции в точке . В противном случае (т.е. когда хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен) точка называется точкой разрыва второго рода. В свою очередь разрыв первого рода может быть устранимым, если и неустранимым, если . В случае неустранимого разрыва разность называется скачком.

Основные свойства функций, непрерывных на отрезке, выражаются двумя теоремами Вейерштрасса и двумя теоремами Больцано-Коши.

1 Теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена.

2 Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то среди всех ее значений есть наибольшее и наименьшее.

1 Теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на концах его принимает значения разных знаков, то внутри найдется точка такая, что .

2 теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и , то для любого числа между и найдется точка из такая, что .

Следствие. Если функция непрерывна на , то множество значений этой функции является отрезком.

Лекция № 18. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Дифференцируемость функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функций. Производные некоторых основных элементарных функций.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением , где - непрерывная функция. Пусть - некоторая точка этой кривой. Для определения касательной в точке выберем на кривой произвольно точку и проведем секущую . (рис.3) Ясно, что если перемещать точку по кривой, то положение секущей будет меняться. Причем, при движении точки к эта секущая будет стремиться к некоторому предельному положению, которое займет, когда совпадет с .

Предельное положение секущей , когда точка стремится к точке по любому закону, перемещаясь по кривой, называется касательной к кривой в точке .

Теперь приступим к решению задачи. Будем считать, что нам даны кривая и точка на этой кривой. Уравнение касательной будем искать в виде , где - угловой коэффициент касательной. Для решения задачи достаточно найти . Из рисунка видно, что угловой коэффициент секущей находится как . Если точку устремить к точке (при этом устремится к ), то угловой коэффициент секущей устремится к угловому коэффициенту касательной, т.е.

(1)

Определив угловой коэффициент касательной по формуле (1), завершаем решение задачи.

Задача 2 (о мгновенной скорости). Пусть точка движется по прямой и

известен закон ее движения, заданный функцией . Найти

скорость движения точки в момент .

Решение. Зная время движения точки, можно найти путь, пройденный точкой от начала движения до момента . Этот путь равен . Значит путь, пройденный точкой от начала движения до момента , равен . Поэтому за время точка пройдет путь . Средняя скорость движения точки от момента до момента равна . Скорость движения точки в момент может быть найдена как . Итак , т.е. получили тот же предел (1), что и в задаче о касательной.

Итак мы рассмотрели две совершенно различные по содержанию задачи. Однако решение обеих задач свелось к одной и той же математической операции - вычислению предела (1). Это говорит о большой значимости полученного предела.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение 1. Если существует конечный предел ,

то его называют производной от функции в точке

и обозначают символом , или .

Таким образом . Заметим, что этот предел можно записать в другом виде. Обозначим . Отсюда . Поэтому .

Если теперь вернуться к рассмотренным задачам, то увидим, что угловой коэффициент касательной к кривой в точке есть производная от функции в точке . В этом состоит геометрический смысл производной. С другой стороны, мгновенная скорость точки есть производная от функции , выражающей зависимость пути от времени, в точке . В этом состоит механический смысл производной.

Если предел в определении 1 будет бесконечным или односторонним,

то производную называют соответственно бесконечной или односторонней.

Правостороннюю производную обозначают символом , а левостороннюю – символом .

Очевидно, что для существования конечной производной в точке необходимо и достаточно, чтобы существовали обе односторонние производные и чтобы .

Определение 2. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее

приращение в точке может быть представлено в виде

, (*)

где - некоторое число, a - бесконечно малая

функция при .

Теорема 1. Чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и

достаточно чтобы функция имела конечную производную в точке

.

Следствие. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в

точке .

Замечание 1. Утверждение, обратное утверждению следствия, неверно.

Замечание 2. При доказательстве теоремы 1 был установлен факт, что если

имеет место равенство (*), то в нем Поэтому

равенство (*) можно записывать в виде

Рассмотрим нахождение производных некоторых основных элементарных функций.

1) Найдем .

.

2) .Найдем .

3) . Найдем .

.

В частности, если ,то имеем .

4). . Найдем .

.

В частности, если , то .

5) . Найдем .

.

6) . Найдем .