Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Число называют пределом функции при (на плюс бесконечности), если для любого найдется число такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Обозначение:
В символах математической логики тот факт, что выглядит так .
Число называют пределом функции при (на минус бесконечности), если . Обозначение: .
Число называют пределом функции в точке , если . Обозначение: .
Это определение называют определением предела функции в точке на языке , или определением предела по Коши в честь знаменитого французского математика, сформулировавшего его.
Существует другое определение предела функции в точке, сформулированное немецким математиком Гейне - определение на языке последовательностей.
Число называют пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , , соответственная последовательность значений функции сходится к числу .
Теорема 1. Если функция имеет предел в точке , то он единственный.
Теорема 2. Функция , имеющая предел в точке , ограничена в некоторой окрестности точки .
Теорема 3. Если , и в проколотой окрестности точки выполняется неравенство , то .
Теорема 4. Если , и в проколотой окрестности точки выполняется неравенство , то .
Теорема 5. Если и , то в некоторой проколотой окрестности точки выполняется неравенство .
Число называют пределом справа (слева) функции в точке , если Обозначение: .
Пределы справа и слева называют односторонними пределами функции.
Теорема 6. Чтобы функция имела предел в точке , необходимо и достаточно чтобы она имела в этой точке оба односторонних предела и чтобы они были равны.
Функция называется непрерывной в точке , если .
Если в этом определении раскрыть определение предела на языке «», то получим определение: функция называется непрерывной в точке , если .
Если же раскрыть определение предела на языке последовательностей, то приходим к определению: функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , соответственная последовательность значений функции сходится к .
Иногда удобно формулировать определение непрерывности функции на языке приращений. Разность называют приращением аргумента в точке , а разность называют приращением функции в точке .
Функция называется непрерывной в точке , если приращение функции в точке стремится к нулю при стремлении к нулю приращения аргумента, т.е. .
Теорема 7. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке будут непрерывны функции , а при условии будет непрерывна функция .
Можно показать, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.
Теорема 8. Пусть имеем сложную функцию . Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
Опираясь на теоремы 7 и 8 можно утверждать, что любая элементарная функция будет непрерывной в любой точке своей области определения.
Если предел, входящий в определение непрерывности функции в точке будет односторонним, то функция называется односторонне непрерывной в этой точке. Например, если функция непрерывна отрезке , то ясно, что в точке можно говорить лишь о непрерывности этой функции справа, а в точке - о непрерывности слева.
Теорема 9 Для непрерывности функции в точке , необходимо и достаточно, чтобы была непрерывна слева и справа от .
Теорема 10. . (первый замечательный предел).
Теорема 11. (второй замечательный предел).
Дата публикования: 2015-02-28; Прочитано: 439 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!