Лекция № 15 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Неопределенности. Число е

Определение 1. Последовательность называют бесконечно малой,

если (т.е. если

Теорема 1. Чтобы последовательность сходилась к числу , необходимо и

достаточно чтобы последовательность была бесконечно

малой.

Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является

бесконечно малой последовательностью.

Замечание. Легко заметить, что эту теорему можно обобщить на любое конечное число слагаемых. Например, для доказательства, что сумма трех бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью, достаточно дважды применить теорему 2.

Теорема 3. Если является бесконечно малой последовательностью, а -

ограниченная последовательность, то есть бесконечно малая

последовательность.

Следствие 1. Если - бесконечно малая последовательность, а - некоторое

действительное число, то является бесконечно малой

последовательностью.

Следствие 2. Произведение конечного числа бесконечно малых

последовательностей является бесконечно малой

последовательностью.

Следствие 3. Если - бесконечно малых последовательностей, а

- действительные числа, то последовательность

является бесконечно малой.

Определение 2. Последовательность называют бесконечно большой,

если , т.е. если

Теорема 4. Чтобы последовательность была бесконечно большой,

необходимо и достаточно чтобы последовательность , где

, была бесконечно малой.

Теорема 5. Если последовательности и сходятся к числам и

соответственно, то

1) последовательность сходится к числу ;

2) последовательность сходится к числу ;

3) последовательность сходится к числу .

Теорема 6. Если последовательность сходится к числу ;

последовательность сходится к числу , то

последовательность сходится к числу .

Неопределенностями называют пределы некоторых последовательностей, которые в зависимости от конструкции последовательностей могут принимать различные значения или не существовать. К неопределенностям относят , если (неопределенность типа ); , если (неопределенность типа ); , если (неопределенность типа ); , если или (неопределенность типа ); , где (неопределенность типа ); , где (неопределенность типа ); , где (неопределенность типа )

Последовательность ограничена сверху и монотонно возрастает, а, следовательно, сходится. Предел этой последовательности принято обозначать буквой .

Число - иррациональное; его можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби: = 2,718281828459045...

Это число часто принимают за основание степени, а показательную функцию называют экспонентой. Логарифм числа по основанию называют натуральным логарифмом и обозначают .