Визначення коефіцієнта в’язкості рідини методом Пуазейля

Мета роботи:

Навчитися визначити коефіцієнт в’язкості рідини методом Пуазейля.

Прилади та матеріали:

1. установка для вимірювання в’язкості води;

2. штангенциркуль;

3. мікроскоп.

Теоретичні відомості:

Тверде тіло, що рухається в рідині або газі, відчуває опір своєму руху. Рухаючись в рідкому або газовому середовищі, тіло поступово залучає до свого руху шари середовища, які раніше покоїлися. Швидкості шарів спадають по мірі віддалення від тіла.

Якщо рідина або газ течуть по трубі, швидкості в різних точках труби також виявляються різними.

Перелічені явища пояснюються однією і тією ж причиною.

Між рухомими суміжними шарами рідини або газу, що рухаються з різною швидкістю, діють дотичні сили. Їх називають силами внутрішнього тертя або в’язкості.

Сили внутрішнього тертя відіграють істотну роль при протіканні рідин або газів по трубах а також під час руху в них твердих тіл. До рухомого тіла в рідині або газі прилипає тонкий шар даної речовини, який рухається разом з ним. Наявність взаємодії між шарами залучає до руху все більш віддалені шари. Одночасно ці дальні шари гальмують рух тіла (приведене пояснення опору руху твердого тіла справедливе тільки тоді, коли не утворюються вихори, тобто при малих швидкостях руху і обтічній формі тіла).

При перетіканні рідини по трубі її тонкий шар, безпосередньо прилеглий до стінок труби – також нерухомий, начебто прилипає до стінок. Унаслідок наявності внутрішнього тертя, він гальмує рух сусіднього з ним шару, а завдяки взаємодії наступних шарів, це гальмування передається далі. В результаті швидкість течії рідини уздовж осі труби виявляється найбільшою і поступово зменшується до стінок.

Сили взаємодії між двома шарами рідини, тобто сили внутрішнього тертя, характеризують наступним чином.

Нехай А та В (рис.12.1) – два близько розташованих шари рідини або газу, що рухаються в напрямку осі х зі швидкостями u₁ та u₂. Відстань між ними . Взаємодія цих шарів зводиться до того, що шар А, який рухається з більшою швидкістю захоплює більш повільний шар В. Останній гальмує рух шару А.

Сила, що діє з боку одного шару на іншій, тим більша, чим ближче розташовані шари і чим більша площа їх зіткнення, а також чим сильніше відрізняються їх швидкості. Тобто сила внутрішнього тертя f прямо пропорційна площі дотичних шарів S, їх відносній швидкості і обернено пропорційна відстані між ними :

(12.1)

Відношення при дорівнює похідній: . Воно показує, як швидко змінюється швидкість шарів середовища з відстанню. Дане відношення називають градієнтом швидкості.

Коефіцієнт пропорційності називають коефіцієнтом в’язкості або коефіцієнтом внутрішнього тертя. Чисельно він рівний силі внутрішнього тертя, що виникає між двома шарами рідини або газу з одиничною площею, якщо градієнт швидкості також рівний одиниці. У різних речовинах при цьому виникають різні по величині сили, отже, різні речовини мають різні коефіцієнти в’язкості, тобто різну в’язкість.

Розмірність коефіцієнта в’язкості може бути отримана з формули(12.1):

(12.2)

У системі СІ одиниця в’язкості – . Величина коефіцієнта в’язкості залежить від властивостей рідини або газу і змінюється зі зміною температури середовища.

Природа сил внутрішнього тертя в рідинах і газах різна внаслідок відмінності їх молекулярної структури. Механізм виникнення сил внутрішнього тертя в газах можна пояснити таким чином.

Звернемося знову до рис.12.1. Нехай А і В два шари газу, які рухаються з різними швидкостями u₁ і u₂, кожна молекула в обох шарах бере участь одночасно в двох рухах – направленому і хаотичному тепловому. Завдяки безладності теплового руху, між шарами газу здійснюється обмін молекулами. Переходячи зі швидшого в повільніший шар, молекули газу переносять з собою більшу кількість направленого руху , яка, завдяки зіткненням, перерозподіляється між молекулами повільнішого шару, внаслідок чого останній прискорюється. Потрапляючи з повільнішого шару в швидший, молекули приносять меншу кількість руху , що уповільнює його.

Чим вище температура газу, тим більша швидкість теплового руху його молекул, тим інтенсивніше йде вирівнювання швидкостей рухомих шарів газу, тим більше буде його коефіцієнт в’язкості.

Внутрішнє тертя в рідинах обумовлене взаємодією між молекулами дотичних шарів і лише в деякій мірі описаним вище процесом. З підвищенням температури рідини збільшується рухливість її молекул, сили взаємодії менше позначаються на русі шарів. З підвищенням температури в’язкість рідин зменшується.

Коефіцієнт в’язкості для даної рідини або газу, що характеризує величину сил внутрішнього тертя в них, може бути визначений різними способами. У даній роботі коефіцієнт в’язкості вимірюється методом, заснованим на законах плину рідини по трубі.

Характер плину рідини або газу по трубі залежить від швидкості потоку. При невеликих швидкостях шар, безпосередньо прилеглий до стінки труби, − нерухомий, решта шарів рідини рухається один відносно іншого і швидкості їх збільшуються у напрямку до осі труби. Розподіл швидкостей в деякому перетині труби зображений на рис.12.2.

Стрілками позначені величини та напрямки швидкостей в потоці на різних відстанях від стінки. Протікання рідини із сталим розподілом швидкостей уздовж труби називається ламінарним. Із збільшенням швидкості потоку шарувата течія порушується, частинки рідини переходять з одного шару в іншій, розподіл швидкостей в потоці перестає бути стаціонарним, виникають завихрення. Такий рух називається турбулентним, вихровим. Швидкість, при якій відбувається перехід ламінарної течії в турбулентну залежить від розмірів труби, форми її перетину і стану стінок, а також від властивостей рідини – густини, коефіцієнта в’язкості.

Пуазейлем було показано, що об’єм рідини (або газу) V, що протікає через трубу за ламінарної течії за деякий час , дорівнює:

(12.3)

де R − радіус труби, l − її довжина, − коефіцієнт в’язкості рідини, p₂-p₁ − різниця тиску на кінцях труби.

Формула Пуазейля може бути отримана наступним чином.

Розглянемо сталий плин рідини по трубі радіусом R і довжиною l. Якщо швидкість потоку в кожній його точці не змінюється з часом, то це означає, що сума сил, що діють на будь-який об’єм рідини дорівнює нулю.

Знайдемо розподіл швидкостей в потоці в залежності від відстані до осі труби. Для цього виділимо із загального об’єму рідини циліндр радіусом r (рис.12.3). На одиницю площі його бокової поверхні діє сила в’язкості:

, (12.4)

а на всю поверхню сила:

(12.5)

Оскільки рух відбувається з постійною швидкістю, сила тертя повинна врівноважувати різницю сил тиску p₂-p₁ на торцях циліндра, отже:

(12.6)

Знак мінус пояснюється тим, що сила тертя направлена у бік, протилежний силі тиску. З (12.6) виражаємо :

. (12.7)

Проінтегрувавши даний вираз отримаємо:

(12.8)

Постійну інтегрування с визначимо з граничних умов: біля стінок труби, де r=R, v =0 тобто:

. (12.9)

Звідси:

(12.10)

Підставивши с в (12.8), знайдемо швидкість потоку в будь-якій точці перетину труби:

. (12.11)

Підрахуємо об’єм рідини, що протікає через усі перетини труби за час . Для цього розіб’ємо його на кільця малої товщини dr, так, що швидкості уздовж всього кільця можна вважати однаковими. Виділимо одне з цих кілець радіусу r і товщиною dr. Площа такого кільця дорівнює:

. (12.12)

За час секунд через нього протече об’єм рідини, що дорівнює:

(12.13)

де − швидкість потоку на відстані r від осі.

Через весь перетин труби радіусу R протече об’єм рідини V рівний:

(12.14)

Підставивши значення швидкості (12.11) і проінтегрувавши, отримаємо:

(12.15)

Вимірявши об’єм V рідини, що протекла, і знаючи різницю тиску на кінцях труби та її розміри – довжину l і радіус R, можна обчислити коефіцієнт в’язкості з (12.15):

(12.16)

Описаний метод визначення коефіцієнта в’язкості по кількості рідини або газу, що протекли крізь трубу, є одним з найбільш поширених методів.