Теоретичні відомості. Якщо у рідині різні шари рухаються з різною швидкістю, то між ними виникає сила внутрішнього тертя, пропорційна площі поверхні шару та градієнту швидкості:

Метод Стокса

Якщо у рідині різні шари рухаються з різною швидкістю, то між ними виникає сила внутрішнього тертя, пропорційна площі поверхні шару та градієнту швидкості:

, (11.1)

де η − коефіцієнт пропорційності, який характеризує властивості цієї рідини і називається коефіцієнтом внутрішнього тертя; − градієнт швидкості; S − площа дотичних шарів.

Коли маленька кулька повільно рухається у рідині, вона зустрічає опір, який обумовлений в’язкістю рідини. Під час руху кульки шар рідини, який дотичний до її поверхні, прилипає до кульки й рухається з її швидкістю. Найближчі суміжні шари рідини також приводяться до руху. Швидкість, яку вони отримують, тим менша, чим далі вони знаходяться від кульки. Стокс теоретично показав, що під час падіння кульки у безмежній рідині, коли не утворюються ніякі завихрення, сила тертя, яка діє на неї, визначається за формулою:

(11.2)

де v − швидкість падіння кульки (ця швидкість повинна бути малою); r − радіус кульки (r<<R); R − радіус сосуду, у якому падає кулька.

На кульку, яка падає у в’язкій рідині, діють три сили:

1. − сила тяжіння

(11.3)

де m − маса кульки, g − прискорення вільного падіння.

Маса кульки m визначається за формулою:

(11.4)

де ρ − густина кульки, V − об’єм, який дорівнює:

(11.5)

Підставляючи у формулу (11.3) значення величин, знаходимо силу тяжіння:

. (11.6)

2. − виштовхувальна сила, яка визначається за законом Архімеда:

(11.7)

де − густина рідини, в’язкість якої визначається.

3. − сила опору руху, яка обумовлена силами внутрішнього тертя. Ця сила визначається за формулою Стокса.

При падінні кульки сила тяжіння направлена вниз, виштовхувальна сила та сила тертя направлені вгору. Під час руху кульки швидкість її збільшується, а значить, росте і сила внутрішнього тертя. За деякого значення швидкості кульки сили, які діють на неї, урівноважуються. Рух кульки при цьому буде прямолінійним та рівномірним. Кулька буде рухатись по інерції зі сталою швидкістю v. У даному випадку маємо:

(11.8)

У формулу (11.8) підставляємо значення величин з формул (11.2), (11.6) та (11.7):

(11.9)

Розв’язуючи рівняння (11.9) відносно коефіцієнта внутрішнього тертя, отримуємо:

, (11.10)

v − швидкість руху кульки, яку за сталого руху знаходимо за формулою

, (11.11)

де l − шлях у в’язкій рідині, який проходить кулька; t − час руху кульки.

Здійснити падіння кульки у необмеженій рідині практично неможливо, оскільки рідина завжди знаходиться у якомусь сосуді, який має реальні стінки. Врахування стінок під час руху кульки вздовж осі циліндричного посуду призводить до такого виразу для коефіцієнта в’язкості: