Теоретичні відомості. Для характеристики зовнішньої механічної дії на тіло, яка призводить до зміни обертального руху тіла

Для характеристики зовнішньої механічної дії на тіло, яка призводить до зміни обертального руху тіла, вводять поняття моменту сили М.

Моментом сили відносно нерухомої точки О називається векторна величина , що дорівнює векторному добутку радіус вектора , проведеного з точки О в точку А прикладення сили, та вектора сили :

. (7.1)

Модуль моменту сили дорівнює

, (7.2)

де α – кут між та , а – довжина перпендикуляра, який опущений з точки О на лінію дії сили. Тоді величина l називається плечем сили відносно точки О.

Якщо переносити точку прикладення сили вздовж лінії її дії, то момент цієї сили М відносно однієї і тієї ж нерухомої точки О не змінюється. У випадку проходження лінії дії сили через точку О момент сили відносно цієї точки дорівнює нулю.

Вектор є аксіальним. Його напрям обирають так, щоб обертання навколо точки О у напрямі сили і вектор утворюють правогвинтову систему.

Якщо на тіло діє n сил, то головним (результуючим) моментом системи сил відносно нерухомої точки О буде вектор , який дорівнює геометричній сумі моментів всіх сил (n) системи відносно точки О:

(7.3)

де – радіус-вектор, який проведено з точки О в точку прикладення сили .

Поняття моменту імпульсу системи відносно нерухомої точки О вводиться як геометрична сума моментів імпульсу відносно тієї ж точки О всіх матеріальних точок системи:

, (7.4)

де – момент імпульсу і -ої матеріальної точки, а m_i, , – маса, радіус-вектор і швидкість і -ої матеріальної точки; – імпульс і -ої точки.

Якщо система обертається з кутовою швидкістю навколо нерухомої точки О і напрям вектора співпадає з напрямом , то її момент імпульсу визначається як

, (7.5)

де I – момент інерції системи, який дорівнює

. (7.6)

Згідно з сучасними уявленнями, момент імпульсу можуть мати не лише частинки тіла, але і поля, причому елементарні частинки і побудовані з них системи (наприклад, атомні ядра) можуть мати момент імпульсу, який не пов’язаний з рухом цих частинок у просторі і який називається спіном.

З третього закону Ньютона випливає, що моменти відносно певної точки О внутрішніх сил взаємодії матеріальних точок системи попарно компенсуються:

. (7.7)

Отже, при обчисленні результуючого моменту сил потрібно враховувати лише зовнішні сили, які діють на механічну систему.

Якщо до механічної системи прикладений результуючий момент зовнішніх сил М_зовн відносно точки О, то, за законами Ньютона, перша похідна за часом від моменту імпульсу відносно тієї ж точки О дорівнює

. (7.8)

Для твердого тіла, шарнірно закріпленого у точці О, навколо якої воно обертається, даний закон зміни імпульсу системи буде також справедливий. В даному випадку формула (7.8) виражає основний закон динаміки твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої точки. Тоді, враховуючи (7.5), отримуємо:

. (7.9)

Метою даної роботи є експериментальна перевірка основного закону динаміки обертального руху:

. (7.10)

За основним рівнянням динаміки обертального руху, якщо момент інерції тіла I відносно осі обертання незмінний, його кутове прискорення прямо пропорційне моменту сили відносно тієї ж осі:

. (7.11)

Співвідношення (7.11), а отже і основний закон динаміки обертального руху, можна перевірити експериментально на хрестоподібному маятнику (маятнику Обербека). Для цього необхідно визначити кутове прискорення при і різних значеннях обертального моменту М₁ та М₂.