Математические операции над дискретными случайными величинами

1. «Сдвиг». Пусть имеется дискретная СВ Х, принимающая в зависимости от результата испытания те или иные случайные значения. Если к каждому из этих значений прибавить одно и то же число, например, А, то в результате получим новую СВ - Х + А, принимающую значения (, При этом:

, т.е. с теми же вероятностями, что и СВ Х.

Х	х 1	…	хn
Р	р 1	…	рn

Х + А	х 1 + А	…	хn + А
Р	р 1	…	pn

2. Определение. Произведением дискретной СВ на число с называется дискретная СВ сХ, принимающая значения с вероятностями .

3. «Возведение в степень».

Определение. Квадратом (соответственно – m-степенью) дискретной СВ Х называется дискретная СВ, принимающая значения (соответственно - ) с вероятностями . Обозначение – Х ² (соответственно – X^m).

Построение таблицы значений СВ Х ² несколько сложнее. Рассмотрим конкретный пример.

Задача. СВ Х задана таблицей распределения. Определить закон распределения СВ Х ².

Х	-1
Р	0,2	0,3	0,4	0,1

Решение. Действуем аналогичным способом для вычисления Х ², т.е. заменяем все значения х_i значениями их квадратов - х_i ², и получаем:

Х 2
Р	0,2	0,3	0,4	0,1

В первой строке имеются совпадающие значения. Поэтому следует объединить их в одну варианту, сложив соответствующие вероятности.

Х 2
Р	0,6	0,3	0,1

Таблицу распределения любой СВ У = f (x) для любой функции f можно построить аналогично. Она строится в два этапа. Сначала вычисляются элементы вспомогательной таблицы.

СВ	f (x 1)	f (x 2)	…	f (xn)
Р	p 1	p 2	…	pn

Затем совпадающие значения f (x_i) = f (x_j) для разных значений x_i и x_j (если такие имеются) объединяются в одно, а соответствующие вероятности складываются.

4. Определение. Суммой дискретной СВ Х, принимающей значения с вероятностями и СВ Y, принимающей значения с вероятностями называется дискретная СВ Z = Х + Y, принимающая значения с вероятностями для всех указанных значений i и j.

5. Определение. Разностью дискретной СВ Х, принимающей значения с вероятностями и СВ Y, принимающей значения с вероятностями называется дискретная СВ Z = Х - Y, принимающая значения с вероятностями для всех указанных значений i и j.

6. Определение. Произведением дискретной СВ Х, принимающей значения с вероятностями и СВ Y, принимающей значения с вероятностями называется дискретная СВ Z = Х·Y, принимающая значения с вероятностями для всех указанных значений i и j.

Определение. Две СВ Х и Y называются независимыми, если события

{ X = x_i } = A_i и { Y = y_j } = B_j (т.е. законы распределения) независимы для любых и , т.е.

.

В противном случае СВ называются зависимыми.

Несколько СВ называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие значения приняли остальные величины.