Формула Пуассона

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность р достаточно мала, причем их произведение не мало и не велико, то приближенно вероятность можно найти по асимптотической формуле Пуассона.

Теорема Пуассона. Если число испытаний неограниченно увеличивается и вероятность р наступления события А в каждом испытании неограниченно уменьшается , но так, что их произведение n·p является постоянной величиной (n·p = a = const), то вероятность удовлетворяет предельному равенству

или .

Асимптотическую формулу Пуассона применяют в тех случаях, когда:

а) р = const < 0,1, т.е. сам по себе «успех» является редким событием;

б) , т.е. количество испытаний n достаточно велико;

в) n·p·q < 10.

Формула Пуассона находит широкое применение в теории массового обслуживания.

Гауссиана, кривая вероятностей. Функция Гаусса задается формулой

.

Для гауссовой функции имеются подробные таблицы ее значений. Эти таблицы составлены для значений аргумента х с шагом 0,01. Они имеются во всех учебниках, пособиях и справочниках по математике, теории вероятностей и статистике.

График функции Гаусса называется кривой вероятностей.

Пользуясь таблицами значений функции Гаусса, следует помнить, что:

1) - четная функция, т.е. и

2) =0 при х 4.

Именно поэтому в большинстве таблиц значения функции приведены только для значений аргумента

Теорема 2. Если число испытаний n достаточно велико, а вероятности р и q не очень близки нулю, то приближенное значение вероятности можно определить по формуле:

,

где - функция Гаусса, а .

Эта замечательная формула называется локальной формулой Муавра – Лапласа.