Модели бинарного выбора

В моделях бинарного выбора результирующий показатель может принимать только два значения (1 – событие имело место, 0 – в противоположном случае).

Модели бинарного выбора могут использоваться при оценке вероятности проявления события в рамках биномиального закона. В их основе лежит предположение, что вероятность проявления события в определенный период времени зависит от ряда факторов (вероятность отказа техники зависит от степени ее износа, квалификации персонала, интенсивности загрузки и т.п., вероятность дефолта заемщика зависит от факторов, характеризующих уровень его финансовой устойчивости, кредитоспособности, стабильности рынка и т.д.). Отказ техники в течение какого-либо периода определяется событием y=1, безаварийная работа - y=0.

Исходными данными для построения такого рода моделей являются исходы рассматриваемого события и соответствующие им значения факторов. В случае сгруппированных данных они могут быть представлены в следующем виде:

(1)

где , - характеризует r-е значение наблюдаемой переменной (0 или 1) при i-ом наборе значений объясняющих переменных факторов.

При этом допускается возможность, что один и тот же набор факторов может давать разные исходы.

Набор переменных для каждого i может быть приведен к частному виду. Тогда данным i-й строки, т.е. вектору , соответствует частота проявления события ,

(2)

где - общее число исходов события, соответствующее i-му набору факторов;

=0 или 1.

Модели бинарного выбора оценивают вероятность события () при условии i-ого набора факторов как некоторую функцию распределения , зависящую от значений этих факторов и соответствующих им параметров. При этом функция определена на отрезке [0;1] и обычно форма взаимозависимости параметров - факторов выбирается линейной, хотя последнее предположение и не является обязательным. Для выбранной формы взаимозависимости между параметрами и можно ввести латентную, гипотетическую переменную Z, значения которой в случае линейной формы определяются уравнением:

(3)

В целом на функцию накладываются следующие естественные для функции распространения ограничения:

1. монотонно возрастает с ростом Z

2. (4)

3. при

4. при

На практике среди моделей бинарного выбора наиболее широкое распространение получили пробит- и логит-модели. Пробит-модели используют в качестве функцию стандартного нормального распределения. Согласное ей вероятность проявления события при i-м наборе факторов определяется как

(5)

где .

В логит-моделях функция имеет вид логистической функции

(6)

Оба варианта функции распределения удовлетворяют условию (4) и обладают свойством симметрии относительно Z=0, т.е. F(-Z)=1-F(Z).

Для любого варианта представления относительная частота (выражение (2)) связывается со значением эконометрической зависимостью

, (7)

в которой неизвестными являются коэффициенты .

При этом в соответствии с распределением Бернулли ошибка имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию , которая таким образом оказывается зависимой от переменной . Из этого вытекает, что модель (7) может рассматриваться как эконометрическая модель с гетероскедастическими ошибками.

Можно предложить несколько подходов к оценке параметров модели (7) , базирующихся на использовании метода максимального правдоподобия, нелинейного метода наименьших квадратов и их модификаций.

Согласно нелинейному МНК требуется оценить значения параметров функции , при которых достигает минимума взвешенная по дисперсии сумма квадратов ошибки модели (7), имеющая следующий вид:

(8)

где в качестве функции используются функции, определенные выражениями (5) и (6).

Возможные процедуры оценивания, использующие нелинейный МНК, включают следующие этапы:

1. Выбор исходной точки начала расчетов, т.е. вектор

2. Выбор направления движения к точке оптимума по каждому из параметров, т.е. знака прироста параметра - «+» или «-»,

3. Выбор рациональной величины прироста на r-ом шаге расчетов,

Среди возможных процедур, используемых на практике для оценки оптимальных значений параметров , , выделим процедуры, использующие графический метод, методы линеаризации функционала (метод Маркуардта) и др.

Заметим, что удачное начальное приближение точки начала расчетов позволяет значительно сократить трудоемкость расчетов, которые проводятся до тех пор, пока изменения хотя бы одного из параметров , ведут к уменьшению значения критерия (8). Оптимальным признается такое значение параметра , любые изменения которого ведут к увеличению этого критерия.

На практике приемлемую начальную точку процедуры расчетов можно определить, воспользовавшись линейным приближением функционала , имеющего следующий вид:

(9)

где i – номер наблюдения

j – индекс независимого фактора

Заметим, что для этой модели условное математическое ожидание переменной определяется следующим образом:

(10)

Из выражений (9) и (10) также вытекает, что ошибка модели принимает только два значения с вероятностью и с вероятностью . Это свидетельствует о «ненормальном» характере закона распределения этой ошибки. К другим «некорректностям» модели (9) можно отнести гетероскедастичность ошибки (поскольку она зависит от величины факторов и поэтому не обладает свойством постоянства дисперсии). Кроме того, прогнозные значения , которые по содержанию являются вероятностями события , ничем не ограничены и могут находиться за пределами отрезка [0;1].

Вместе с тем оценка параметров модели (9) на практике не представляет трудностей. Для этого могут быть использованы непосредственно метод наименьших квадратов или метод максимального правдоподобия. Найденные с помощью одного из этих методов оценки можно использовать как начальную точку итеративной процедуры поиска оптимума критерия (8).

Модификации модели бинарного выбора, различающиеся между собой в основном переменной Z, нашли достаточно широкое применение при оценке вероятностей дефолта заемщика кредитов. Например, согласно подходу, предложенному корпорацией КМФ, закон распределения вероятностей банкротства заемщика ставится в зависимость от показателя, определяемого как «расстояние до дефолта»:

(11)

где P(D) – вероятность дефолта

В свою очередь это расстояние определяется как количество среднеквадратических отклонений, на которое должна снизиться стоимость активов компании-заемщика, прежде чем она объявит дефолт,

(12)

где ν – стоимость компании, рассчитываемая как случайная величина

- ее математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение соответственно

Показатель DP определяет точку дефолта компании, т.е. такую стоимость ее активов, при которой компания объявляет дефолт:

(13)

где STD – сумма краткосрочных обязательств компании

LTD – сумма ее долгосрочных обязательств

Функция F должна удовлетворять свойству (4), т.е. F(0)=1 (если дистанция до дефолта равна 0, то его вероятность равна 1, P(D)=1), F возрастает с ростом дистанции до дефолта в пределе до 1 и соответственно P(D) уменьшается в пределе до 0.

В литературе описано достаточно большое количество попыток выразить латентную переменную Z как функцию от факторов, характеризующих финансовую устойчивость предприятий (банка), и с использованием бинарной модели выбора оценить вероятность банкротства каждого из них.

Вопрос 14.Математические модели на сетевых графиках и коммуникационных сетях в условиях определенности, риска и неопределенности. (по лекциям Косорукова)

Сетевые модели делятся на:

1) Сетевые графики

Есть некоторый ориентированный граф, то есть к кругу направлена стрелка

Есть одна из вершин графа (событие), что дуги (работы) из неё только выходят, это начало работ.

Есть вершина в которую дуги только входят – окончание работ.

Под циклом понимаем завершённый круг. В графах не существует циклов.

Правило 1. Ни одно событие не может наступить, пока не завершатся все работы, входящие в это событие.

Правило 2. Ни какая работа не может быть начата, пока не наступит событие, из которого эта работа выходит.

Теорема. Минимальное время наступления событий сетевого графика равняется длине критического пути (максимальная длина из начала работ в данную вершину)

Длина пути- сумма всех работ входящих последовательных сонаправленных дуг.

Критической работой называется такая работа сколь угодно малое увеличение времени выполнения которой приводит к увеличению времени выполнения всего комплекса работ.

Задачи:

1. Детерминированный случай, без ресурсов (продолжительность работ известна)

2. Детерминированный случай при наличии распределяемого ресурса

а) однородный сепарабельный ресурс

б) общий случай стационарного распределения ресурсов

Х – множество вариантов распределения ресурсов

в) динамически распределённые ресурсы

3. Задача с неопределёнными факторами

К=(1,…,k) множество неопределенных факторов

Обратная задача

2) Коммуникационные сети

Есть ориентированный граф. n – количество вершин, m – дуг

Есть одна из вершин графа, что дуги из неё только выходят, источник.

Есть вершина в которую дуги только входят – сток. Возможен цикл.

Теорема Фолда и Фалкерсона: Величина максимального потока равна величине минимального разреза.

Разрез – разбиение множества вершин сети на 2 подмножества, такие что источник и исток принадлежат разным подмножествам.

Задача максимального потока в условиях распределения ресурсов

d1,…,dm –пропускные способности дуг

y1,…,ym – величина потока по i дуге

с() – множество индексов дуг, входящих в вершину

d ()- множество индексов дуг, выходящих из вершины

Наличие неопределенных факторов, надо синтезировать сеть с максимальной пропускной способностью