Модели скользящего среднего

В моделях СС текущее знач. стац. случ. процесса второго порядка y_t представляется в виде линейной комбинации текущего и прошедших значений ошибки e_t, e_{t– 1}, e_{t– 2},..., по своим свойствам соответствующей “белому шуму”. Такое представление м. б. выражено уравнением (модель СС порядка m – СС(m)):

где b ₁, b ₂,..., b_m – параметры модели. В соответствии с опред. белого шума e_t харак-ся свойствами: M [ e_t ]=0, D (e_t)= s_e ²=const,

g_i = M [ e_t, e_t–i ] =

Вследствие этого автокорреляционная функция белого шума имеет простую форму: r_i ^(e)=1, i =0; r_i ^(e)=0, i ¹0. (6.70)

С учетом свойств ошибки e_t можно построить автокорреляционную функцию модели СС(т), определяемой выражением (6.68). Ее коэфф. ковариации i -го порядка опред. след.образом:

При i =0 (6.71) представляет собой дисперсию процесса y_t, кот. в силу свойства (6.69) выр-ся через коэфф-ты модели СС(т) b_i, i =1, 2,..., т; и дисперсию ошибки s_e ²:

Для i =1 из (6.72) получим, что первый коэфф. ковариации:

Для произвольного i:

Из (6.74) вытекает, что автокорреляционная функция модели СС(т) становится равной нулю после задержки т (обрывается на задержке т). С учетом выражений (6.72) и (6.74) коэфф-ты автокорреляции модели скользящего среднего т -го порядка – СС(т) определяются через ее параметры b_i, i =1, 2,..., т:

Систему (6.75) исп. для получ. оценок b ₁, b ₂,..., b_m неизв. параметров модели СС(т) – b ₁, b ₂,..., b_m. Подставим в каждое ее уравнение вместо значений коэфф-ов автокорреляции r ₁,..., r_m рассматриваемого процесса y_t их рассчитанные оценки r ₁,..., r_m. Эта система нелинейная и ее решение требует использования специальных итеративных процедур расчетов за исключением наиболее простой модели СС(1):

Из (6.72) дисперсии процесса s_у ²и ошибки этой модели s_e ² связаны соотношением:

а ее единственный отличный от нуля первый коэфф. автокорреляции выражается через коэффициент модели как

Из соотношения (6.78) получим квадратичное уравнение относительно оценки b ₁ неизвестного параметра b ₁

где r ₁ – оценка коэфф. автокорреляции первого порядка процесса y_t, т. е. r ₁.

Из (6.79): сущ-ют два реш. этого ур-я, связанные соотношением:

Условию стационарности процесса y_t удовлетворяет только решение b по абсолютной величине меньшее единицы. Оно может быть получено из выражения:

при условии, что

Из (6.82): модели СС первого порядка могут применяться только для описания процессов с автокорреляционной функцией, обрывающейся после первой задержки и коэфф. автокорреляции по абсолютной величине не превышающем 0,5. Из (6.82) вытекает, что данные модели способны лишь незначительно уточнить рассматриваемый процесс y_t, поскольку согласно (6.77) макс. соотношение между его дисперсией и дисперсией ошибки не превосходит 1,25: s_у ²/ s_e ²< 1,25, (6.83) т. е. относительный выигрыш в точности не превосходит 25% для дисперсий (чуть более 11% для среднеквадратических ошибок).