Решение. Рассмотрим тригонометрическую форму представления комплексных чисел , где – модуль комплексного числа

Рассмотрим тригонометрическую форму представления комплексных чисел , где – модуль комплексного числа, а – его аргумент.

Связь между алгебраической и тригонометрической формами записи можно получить из равенства: .

Тогда , откуда

.

Возведя оба равенства в квадрат и сложив их, получим . А угол определяется с точностью до , из системы:

(10.1)

Для однозначного соответствия между комплексным числом и его аргументом выделим его главное значение arg z, для которого принимаем: . В дальнейшем будем придерживаться ограничений: . Для числа z = 0 аргумент не определяется.

Геометрический смысл и arg z ясен из рис. 10.1: есть расстояние от точки до начала координат, а arg z – угол, на который необходимо повернуть вещественную ось Re z до совпадения с числом z.

Пример 10.2. Представить в тригонометрической форме число z = 1.