Формирование кодов Голда: алгоритм, примеры построения кодеров и описание их работы

Одной из основных целей разработки кодов расширения спектра является нахождение множества форм сигналов таких, которые позволят как можно большему числу пользователей работать ‘ общей полосе частот с наименьшими взаимными помехами (телекоммуникационные системы на базе технологии CDMA)

Одним из важных и полезных в указанном смысле семейств кодов являются последовательности Голда, характерная особенность которых – фиксированный и контролируемый уровень взаимной корреляции между кодами, формируемыми с помощью единого генератора на основе РСЛОС. Рассмотрим принцип построения множеств последовательностей Голда, основываясь на [43-45].

Определение. Будем говорить, что последовательность а есть «децимация» [43] последовательности а, если каждый из символов а получен периодической выборкой каждого q-то символа из а. При этом часто используют запись: а= a[q].

Пусть а является М-последовательностью длины N, а последовательность а’ получена ее децимацией. Известно [43], что любая a’=a[q] имеет период N тогда и только тогда, когда НОД (N, q) = 1 (НОД – наибольший общий делитель). Пара М-последовательностей, имеющих одинаковый период N, может быть связана соотношением a’=a[q] для некоторого q. При этом М-последовательности а и а’ называют предпочтительной парой [43] при совместном выполнении следующих условий:

- пфО (mod 4), т.е. п – нечетное или п = 2 (mod 4);

Взаимная корреляционная функция такой пары последовательностей может принимать только три значения [43,44]:

а = a[q], где q – нечетное число, равное q = 2* + 1 или q = 22к – 2k + 1;

При конструировании последовательностей Голда предпочтительным парам отводится роль «строительного материала». Предположим, последовательности а и а – предпочтительная пара М-последовательностей с периодами N=2"-1. Тогда множество из N+1 последовательностей, формируемых в соответствии с правилом

называют кодом Голда для предпочтительной пары а и а’. За исключением этих двух, остальные N-1 последовательностей не являются последовательностями максимальной длины. Поэтому их автокорреляционные функция не двузначны, а могут принимать три значения из числа определяемых формулой (2.45). Это же выражение определяет возможные величины взаимных корреляций любой пары последовательностей из N+1 последовательностей Голда длиной N [43].

Пиковое значение взаимной корреляции последовательностей Голда в <Jl выше известной границы Уэлча для нечетных п и вдвое – для четных [44].

Целесообразно сказать несколько слов о методе выбора предпочтительных пар. Пусть а – любой примитивный элемент поля Галуа GF(2"). Далее, пусть fx(D) - неприводимый полином степени п с корнем a (fx(D) называют минимальным полиномом а) и пусть ДО) – минимальный полином аКп), где обе функции, и fx{D) и ДО), имеют степень п. Тогда последовательности, порождаемые полиномами СО) и ДО), являются предпочтительными М-последовательностями. Согласно [44], характеристическим полиномом суммы этих последовательностей является/(DYfD). Отсюда получают [44] правило задания структуры обратных связей регистра сдвига, порождающего последовательности с указанным ограничением на уровень ВКФ. Характеристические полиномы предпочтительных пар обычно табулируются (см., например, [46]).

На рис. 2.45 показана процедура генерирования 33 последовательностей кода Голда, N= 31, путем суммирования выходов двух РСЛОС. Полное семей­ство кодов Голда с помощью этого генератора можно получить, используя раз­личные начальные состояния регистра. Период любой кодовой последователь­ности из этих семейств равен N, как и у М-последовательностей.