История. Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545)

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».^[4]

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл Коши.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Оглавление

Билет №1 Блеять!. 1

Билет №2 Блеять!. 3

Билет №3 Блеять!. 17

Общая схема исследования функции и построения графика. 17

Билет № 4 блеять! Понятие неопределенного интеграла. 19

Билет №5 БЛЕЯТЬ!Определенный интеграл как предел интегральной суммы.. 36

Билеты №6,7,8 блеять!Геометрические и физические приложения определенного интеграла. 41

Билет №9 Блеять!. 55

Несобственный интеграл. 55

Содержание. 55

[править] Несобственные интегралы I рода. 56

[править] Несобственные интегралы II рода. 57

[править] Отдельный случай. 58

[править] Критерий Коши. 58

[править] Абсолютная сходимость. 58

[править] Условная сходимость. 58

Билет №10 Блеять!Функции двух переменных. 59

Билеты №11, 12 Производные и дифференциалы функции нескольких переменных. 62

Билет № 13 блеять! Двойной интеграл. Его основные свойства и приложения. 69

Билет №14 блеять! Правила вычисления двойных интегралов. 71

Билет №15 блеять!Геометрические приложения двойных интегралов. 77

Билет №16 Физические приложения двойных интегралов. 86

Билет № 17 блеять! Сумма ряда. 89

Содержание. 89

[править] Определение. 89

[править] Сходимость числовых рядов. 90

[править] Необходимый признак сходимости ряда. 90

[править] Примеры.. 90

Билет № 18 Блеять!Логарифмический признак сходимости. 91

[править] Формулировка. 91

[править] Формулировка в предельной форме. 91

Признаки сходимости рядов с положительными членами. 91

Билет № 19Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда. 92

Билет №20 Степенные ряды. 93

Ряд Тейлора. 96

Содержание. 96

[править] Определение. 96

[править] Связанные определения. 96

[править] Свойства. 96

[править] Формула Тейлора. 96

[править] Различные формы остаточного члена. 97

[править] Ряды Маклорена некоторых функций. 97

[править] Формула Тейлора для функции двух переменных. 98

Билет №22 Дифференциальное уравнение. 99

Содержание. 104

[править] Обыкновенные дифференциальные уравнения. 105

[править] Дифференциальные уравнения в частных производных. 105

[править] Примеры.. 105

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 106

Билет № 23 Дифференциальные уравнения, ряды - курс лекций ........ 107

Уравнения с разделяющимися переменными. 107

Линейное дифференциальное уравнение. 108

Содержание. 108

[править] Уравнения с переменными коэффициентами. 108

[править] Пример. 108

[править] Уравнение первого порядка. 108

[править] Пример. 109

БИЛЕТ №25,26,27 БЛЕЯТЬ!!!!!!!!!. 121

Комплексное число. 123

Содержание. 123

Определения. 124

Стандартная модель. 124

Матричная модель. 124

Замечания. 124

Действия над комплексными числами. 125

Геометрическая модель. 125

Связанные определения. 126

Модуль и аргумент. 126

Сопряжённые числа. 127

Представление комплексных чисел. 127

Алгебраическая форма. 127

Тригонометрическая и показательная формы.. 128

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел. 128

История. 128