Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа z обозначается | z | и определяется выражением . Часто обозначается буквами или . Если z является вещественным числом, то | z | совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых имеют место следующие свойства модуля.:

1) , причём тогда и только тогда, когда ;;

2) (неравенство треугольника);

3) ;

4) .

Из третьего свойства следует , где . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем .

5) Для пары комплексных чисел z ₁ и z ₂ модуль их разности | z ₁ − z ₂ | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z, называется аргументом числа z и обозначается .

• Из этого определения следует, что ; ; .
• Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2 k π, где k — любое целое число.
• Главным значением аргумента называется такое значение , что . Часто главное значение обозначается ^[3]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: .