Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка



Определение. Уравнение вида y'+ ρ(x) y=f (x), где ρ(x) и f (x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения y'+ 3 y=e 2 x и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х =0, у =1.
Решение. Данное уравнение является линейным.
Здесь ρ(x)=3 и f (x)= e 2 x .
Решение ищем в виде y=U ∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U' υ+ U υ ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U' υ +U υ ' +3 U υ= e 2 x или U' υ +U' +3υ)= e 2 x .
Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ ' +3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем: ln υ =–3 x,υ= e –3 x .
Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
.
Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.
.
Частное решение имеет вид: .





Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 209 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...