Развертывание поверхностей

Развертывание поверхности - преобразование поверхности, при котором она совмещается с плоскостью без разрывов и складок.
Развертка - плоская фигура, в которую преобразуется поверхность путем совмещения с плоскостью без разрывов и складок.
При этом поверхность рассматривают как гибкую, нерастяжимую пленку.
Поверхность называется развертываемой на плоскость, если между точками поверхности и плоскости можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором:
- каждой точке поверхности соответствует точка на развертке;
- длины соответствующих линий на поверхности и на развертке равны между собой;
- замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь;
- угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиям на развертке;
- отрезку прямой линии на развертке соответствует геодезическая линия поверхности, кратчайшим путем соединяющая две точки на данной поверхности (рис.1).
К развертываемым поверхностям относят поверхности:
- многогранников;
-линейчатые поверхности с параллельными или пересекающимися образующими, а именно - цилиндрические, конические и поверхности с ребром возврата.
Развертки многогранников относят к точным разверткам.
Развертки линейчатых развертываемых поверхностей выполняют как приближенные.
Развертки неразвертываемых поверхностей выполняют условно.

Способ раскатки применим тогда, когда ребра призмы параллельны одной из плоскостей проекции, например, плоскости проекции П₂ на рисунке 6.13. При этих условиях каждую грань призмы последовательно поворачивают вокруг одного из ребер, как вокруг фронтали, до положения, параллельного плоскости проекции П₂; все грани призмы спроецируются на плоскость проекции П₂ в натуральную величину. Построение: из фронтальных проекций точек a₂, b₂, c₂, a′₂, b′₂, c′₂ проводят перпендикуляры к ребрам призмы.

В рассматриваемом примере раскатка боковой поверхности призмы начата с грани a₂b₂b′₂a′₂. Чтобы повернуть ее вокруг ребра AA′ до положения, параллельного плоскости проекций П₂, из точек a₂ и a′₂ на перпендикулярах, выходящих из точек b₂ и b′₂, сделаны засечки раствором циркуля, равным истинной величине стороны AB (A′B′) основания призмы (истинной величиной стороны AB основания призмы является ее горизонтальная проекция a₁b₁). Параллелограмм a₂b₀b′₀a′₂ есть истинная величина грани ABB′A′. Истинная величина граней BB′C′C, CC′A′A построенна аналогично. Фигура a₂b₀c₀a₀a′₀c′₀b′₀a′₂ - развертка боковой поверхности призмы.

Во всех рассмотренных примерах ребра призмы занимали частное положения относительно плоскостей проекций - они были параллельны плоскости проекций П₂, а основания призмы - плоскости проекции П₁. При построении разверток поверхности призмы, ребра которых занимают общие положения относительно плоскостей проекции, целесообразно вначале, применив способ замены плоскостей проекций, преобразовать эпюр так чтобы ребра призмы заняли частные положения, затем выполнить построение, аналогичное одному из описанных выше способов.

43)))

Метод триангуляции.

Общим методом построения разверток криволинейных поверхностей является метод триангуляции, при котором поверхность аппроксимируется (заменяется) вписанной или описанной многогранной поверхностью, грани которой – треугольники, а затем строится развертка многогранной поверхности, которая будет приближенной или условной разверткой криволинейной поверхности. Этот метод применяется при построении развертки конической поверхности, которая аппроксимируется вписанной (реже описанной) пирамидальной поверхностью. Построение развертки конуса сводится к построению развертки пирамиды, у которой боковые грани являются треугольниками. Рассмотрим построение пирамиды SABC (рис. 2). Для построения развертки пирамиды необходимо знать длину каждого ребра. Основание пирамиды лежит в плоскости, параллельной плоскости П1, а потому на эту плоскость отрезки АВ, АС и СB проецируются в истинную величину, и их длину можно измерить на горизонтальном поле проекций. Длины ребер AS, BS, CS находим вращением их вокруг горизонтальной оси i до фронтального положения, а потому S1A1, S1B1, S1C1 параллельны оси Х, фронтальные проекции S2A2, S2B2, S2C2 имеют длину, равную длине ребер пирамиды. После того как найдены длины всех ребер, приступаем к построению развертки. Для этого на свободном чертеже построим треугольник А0В0S0, равный грани АВS, причем |А0S0| = |A2B2|, |S0B0| = |S2B2|, где |A0B0| = |S2C2|, |A0C0| = |A1C1|, |B0C0| = |B1C1|. К боковой развертке примыкает основание А0В0С0. При построении развертки поверхности иногда приходится наносить линию, расположенную на ней, например линию пересечения с другой поверхностью. На рис. 2 показано построение линии а (1 2 3) (1121 31, 12 22 32).

44))

Аксонометрическая проекция (греч. άχοπ — «ось» и «метрия») — способ изображения геометрических предметов на чертеже при помощи параллельных проекций.

Предмет с системой координат, к которой он отнесён, проецируют на произвольную плоскость (картинная плоскость аксонометрической проекции) таким образом, чтобы эта плоскость не совпадала с его координатной плоскостью. В этом случае получается две взаимосвязанные проекции одной фигуры на одну плоскость, что позволяет восстановить положение в пространстве, получив наглядное изображение предмета. Так как картинная плоскость не параллельна ни одной из координатных осей, то имеются искажения отрезков по длине параллельных координатным осям. Это искажение может быть равным по всем трём осям — изометрическая проекция, одинаковыми по двум осям — диметрическая проекция и с искажениями разными по всем трём осям — триметрическая проекция.

Стандартизированные аксонометрические проекции

§ прямоугольная проекция (направление проецирования перпендикулярно к плоскости проекции):

§ прямоугольная изометрическая проекция;

§ прямоугольная диметрическая проекция;

§ косоугольная проекция (направление проецирования не перпендикулярно к плоскости проекции):

§ фронтальная изометрическая проекция;

§ фронтальная диметрическая проекция;

§ горизонтальная изометрическая проекция.

45)))

Изометри́ческая прое́кция — это разновидность аксонометрической проекции, при которой в отображении трёхмерного объекта наплоскость коэффициент искажения (отношение длины спроектированного на плоскость отрезка, параллельного координатной оси, к действительной длине отрезка) по всем трём осям один и тот же. Слово «изометрическая» в названии проекции пришло из греческого языка и означает «равный размер», отражая тот факт, что в этой проекции масштабы по всем осям равны. В других видах проекций это не так.

Изометрическая проекция используется в машиностроительном черчении и САПР для построения наглядного изображения детали начертеже, а также в компьютерных играх для трёхмерных объектов и панорам.

Необходимо отметить, что параллельные проекции, разновидностью которых являются аксонометрические и, в том числе, изометрические проекции, делятся также на ортогональные (перпендикулярные), с направлением проекции перпендикулярным к плоскости проекции, икосоугольные, с углом между направлением и плоскостью, отличным от прямого. По советским стандартам (см. ниже) аксонометрические проекции могут быть и ортогональными, и косоугольными^[1]. По западным же стандартам, аксонометрические проекции являются только ортогональными, а косоугольные проекции рассматриваются отдельно.^{[ источник не указан 922 дня ]} В результате, по западным стандартам изометрическая проекция определяется более узко и, помимо равенства масштабов по осям, включает условие равенства 120° углов между проекциями любой пары осей. Во избежание путаницы далее, если не указано иное, под изометрической проекцией будет подразумеваться

Диметрическая прое́кция — это аксонометрическая проекция, у которой коэффициенты искажения^[1] по двум осям имеют равные значения, а искажение по третьей оси может принимать иное значение.