Аксонометрические изображения окружности

Окружности в аксонометрической проекции приведены на рис. 9.5, в диметрической - на рис. 9.4 с указанием соответствующих значений величин осей эллипсов для приведенных коэффициентов равных 1.

Большая ось эллипсов расположена под углом 90^o для эллипсов, лежащих:

· в плоскости xOz - к оси y,

· в плоскости yOz - к оси x,

· в плоскости xOy - к оси z,

При выполнении аксонометрического изображения от руки (как рисунка) построение эллипсов, как в изометрии, так и в диметрии, выполняют по 8 точкам.Например, по точкам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 (рис. 9.5). Точки 1, 2, 3, 4 находят на соответствующих аксонометрических осях, а точки 5, 6, 7, 8 строят по величинам соответствующих большой и малой осей эллипса. При выполнении же аксонометрического изображения чертежным инструментом построение эллипсов в диметрической проекции также производят по 8 точкам, а эллипсы в изометрической проекции можно заменять овалами и строить их следующим образом. Построение показано на рис. 9.5 на примере эллипса, лежащего в плоскости xOz. Из точки О как из центра проводят дугу CSC радиуса D, которая является одной из дуг, составляющих контур эллипса. Из точки O₂ как из центра проводят дугу радиуса O₂S до пересечения с большой осью эллипса в точках О₃. Проводя через точки О, О₃ прямую, находят в пересечении с дугой CSC точку K, которая определяет О₃K - величину радиуса замыкающей дуги овала. Точки K являются также точками сопряжения дуг, составляющих овал.

47))

Перспектива – изображение, построенное на основе центрального проецирования. Такие изображения более наглядны по сравнению с аксонометрическими. Объясняется это тем, что аппарат центрального проецирования наиболее близок к аппарату зрительного восприятия.

Способы изображения формы предметов независимо от их физических качеств изучаются в разделе начертательной геометрии, называемом геометрической перспективой.

Геометрическая перспектива делится

1. на линейную (изображение строится на вертикальной плоскости);

2. панорамную (на цилиндрической поверхности);

3. купольную (на внутренней поверхности сферы);

4. плафонную (на горизонтальной плоскости).

В предлагаемой работе будет рассматриваться только линейная перспектива.

Рис. 62. Аппарат для построения перспективы

К основным элементам перспективного аппарата относятся (рис. 62):

К – картинная плоскость (или картина);

T – предметная плоскость (земля);

t – t – основание картины;

S – точка зрения (или центр проекций, или « глаз »);

s – точкастояния;

h – h – линия горизонта;

[ SP ) – главный луч картины;

P – главная точка картины.

Пусть на предметной плоскости находится прямая линия. Если через точку зрения S провести в каждую точку прямой проецирующий луч, то их множество образует плоскость, которая пересечет картину K по прямой линии. Следовательно, перспективным изображением прямой будетпрямая линия.

Дополним Евклидово пространство несобственными элементами: несобственная или бесконечно удаленная точка, несобственная прямая и несобственная плоскость. Такое пространство называется проективным.

сли в Евклидовом пространстве параллельные прямые не пересекались, то в проективном – параллельные прямые образуют пучок с общей несобственной точкой (центром пучка).

Представим, что на предметной плоскости расположено множество прямых линий различного направления по отношению к картине. У каждой такой прямой есть своя несобственная точка. Множество таких точек образует бесконечно удаленную прямую плоскости T.

Лучи зрения, проходящие через точку S и каждую несобственную точку прямой, образуют плоскость, параллельную предметной. Такая плоскость называется плоскостью горизонта и пересекает картину по прямой h – h – линии горизонта. Поэтому эту линию можно считать перспективой несобственной прямой.

Построим перспективу данной прямой. Известно, что любая прямая определяется парой несовпадающих точек. Одну из таких точек можно определить, если продолжить данную прямую до пересечения с картиной (точку A₀). Назовем эту точку «начальной точкой прямой».

Рис. 63. Перспектива прямой, лежащей в предметной плоскости

Затем определим перспективу бесконечно удаленной точки A, проведя через точку S и эту точку луч, параллельный предметной плоскости. Пересечение луча с картиной определит точку A_К. Назовем ее предельной или точкой схода прямой, или «конечной точкой» прямой. Соединив точку A_К с точкой A₀ получим перспективу данной прямой, изображенную конечным отрезком [ A₀ A_К ] на рис. 63.

Рис. 64. Неопределенные чертежи

Если на этой прямой взять случайную точку B и провести через нее луч, то перспектива точки (точка B_К) определится пересечением луча с картиной и будет принадлежать отрезку [ A₀ A_К ]. Но с этой же точкой совпадают перспективы всех точек проведенного луча (например, точки С) и т.о. приведенный чертеж становится неопределенным. На рис. 64 приведены примеры чертежей такого рода и в параллельных проекциях.

Поэтому и в центральных проекциях, также как и в параллельных для однозначного прочтения любого геометрического объекта требуется наличие двух его проекций, которые полностью определят его положение в пространстве и позволят решать как метрические, так и позиционные задачи.

Поступим следующим образом: возьмем за картинной плоскостью точку А (оригинал) с ее вторичной проекцией на предметной плоскости – точкой а (рис. 65). Из точки зрения проведем луч в эту точку. Луч и отрезок [ Ss ] задают плоскость, перпендикулярную Т, на основании признака перпендикулярности двух плоскостей. Построим линию пересечения проведенной плоскости и плоскости К. Поскольку обе плоскости перпендикулярны Т, их линия пересечения будет вертикальной прямой.

Отметим на ней точку а₀. Пересечение проведенного луча с этой прямой определит перспективу точки А – точку A_{К .} Построим перспективу вторичной проекции а, проведя луч из точки S в эту точку. Точка пересечения луча с картинной плоскостью а_К – перспектива вторичной проекции точки (точки на земле).

Рис. 65. Вертикальная прямая (столб) в перспективе

49))

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ.

		В проекциях с числовыми отметками плоскость проекций П i называют плоскостью нулевого уровня и обозначают П 0. Идея этого метода состоит в том, что на плоскость П 0 ортогонально проецируют точку и вместе с проекцией точки задают ее расстояние до плоскости П 0 (рис. 5). Это расстояние называют числовой отметкой точки и задают обычно в метрах. Числовую отметку точки пишут внизу справа от обозначения ее изображения. Если плоскость нулевого уровня расположена горизонтально, то чертеж называют планом. На плане всегда указывают линейный масштаб и при необходимости дают ориентацию относительно сторон света. Очень удобно в проекциях с числовыми отметками изображать линии уровня, все точки которых имеют одинаковые отметки. Линии уровня проецируются на П 0 без искажения своей формы (применяется в картографии).

Проекции с числовыми отметками позволяют просто решать многие задачи. Обратимость чертежей в проекциях с числовыми отметками очевидна.

Зарождение идеи этого метода относят к средним векам. Уже тогда многие народы, пользующие картами с показаниями морских глубин, умели изображать точку при помощи ее проекции и отметки. Однако теоретическое обоснование метод получил лишь в 19 веке, благодаря французскому военному инженеру – капитану Нуазе (1823 г.).

Чертежи в проекциях с числовыми отметками построены на одной плоскости проекций – на одной картине и часто называются однокартинными.

1. Градуирование прямой. Под градуированием прямой понимается оп­ределение точек прямой с отметками, выраженными целыми числами и отличающимися друг от друга на единицу длины. Прием градуирования пря­мой показан на рис. 4, здесь возможны два случая:

а. Когда оба конца отрезка имеют одинаковые знаки (рис. 4а,б). В этом случае от конца отрезка с большей отметкой откладывают, перпен­дикулярно к нему, значения разности отметок и проводят графическое градуирование, как показано на рис. 4а. Если концы отрезков имеют дробные отметки, то от конца отрезка с меньшей отметкой откладывают только дробную часть, а от другого - разницу отметок плюс дробную часть отметки конца отрезка. Градуирование при этом выполняют как показано на рис. 46.

б. Случай, когда концы отрезков имеют разные знаки. Построения отличаются лишь тем, что отметки начала и конца отрезка откладываются в противоположные стороны. Пример такого градуирования показан на рис. 4в.

48))

Общий закон построения теней
Тень от любого предмета определяется двумя лучами: один, идущий из проекции солнца через основание предмета, дает направление тени, а второй, идущий из солнца через вершину предмета, отсекает величину тени.
Лучи, идущие из солнца, условимся принимать под углом, равным 45 градусам к предметной плоскости (хотя от этого могут быть отступления).
Примечание: проекция солнца всегда находится на горизонте.

AB - объект
ed - горизонт
cd - луч, идущий через вершину

Когда положение солнца, находится сбоку от зрителя — по правую или по левую сторону, направление теней будет параллельно линии основания картины (рис1).

Мы рассмотрели случай, в котором объект находился на линии горизонта, теперь попробуем построить тень предмета, не находящегося на данной линии.

Обозначим примерное расположение солнца (источника света). Затем, из данной точки, проведем прямые по верхним видимым граням объекта (рис.2)

Теперь отметим точку, где сходятся земля и вертикаль «источника света». Необходимо отметить ее ниже источника света (чем ниже «точка схода», тем короче тень от предмета и наоборот). Затем проведем прямые из этой точки по нижним граням объекта и отметим точки пересечения линий. (рис. 3)

Соединим полученные точки. (рис. 4)

Тень готова!

Попробуем построить тень от шара. Поделим шар на несколько плоскостей (каждая плоскость представляет собой круг, линия круга - образующую): три по вертикали и три по горизонтали (представьте, что режете шар). Затем от уже известной нам точки проведем касательные там, где верхняя горизонтальная и вертикальные образующие пересекаются (точки 1 и 2. заметим, что точка 1 невидимая)

Далее проведем луч через пересечение центральной образующей и верхней горизонтальной образующей (точка 3).
От известной нам "точки схода" также проводим лучи на пересечение вертикальных образующих уже с нижней горизонтальной образующей (точки 1', 2',3')
Заметьте, что точки 1 и 3 невидимые, поэтому точки 1', 3' отмечаем на невидимой глазу стороне шара.

Затем обозначьте пересечение лучей точками.

Соедините точки. Помните, что тень от шара имеет округлую форму.

Чем больше лучей вы проведете через точки пересечения, тем точнее будет контур вашей тени. Но если у вас прекрасный глазомер и набитая рука, можно обойтись несколькими.

А сейчас построим тень от цилиндра, находящегося у стены.

Проделаем известные нам операции (отметим точки "источник света", "точка схода"). Проведем три образующие на цилиндре, а через них лучи.
Заметьте, что появилась линия стены (линия а).
Не торопитесь пересекать лучи из "точки схода" с лучами из точки "источник света". Доведите нижние лучи до линии стены

Теперь от каждого луча проведем перпендикуляр к линии стены до пересечения с лучами из точки "источник света". Отметим получившиеся точки.

Соединим полученные точки.

Теперь мы видим как тень от цилиндра "полезла" на стену.

Спасибо за внимание! Практикуйтесь, экспериментируйте, все в ваших руках.

1.

ВИДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ.

Одно из основных геометрических понятий - отображение множеств. В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие определенная точка двумерного пространства – плоскости. Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности пространства. Геометрический объект, рассматриваемый как точечное множество отображается на плоскость по закону проецирования. Результатом такого отображения является изображение объекта.

		В основу любого изображение положена операция проецирования, которая заключается в следующем. В пространстве выбирают произвольную точку S (рис.1) в качестве центра проецирования и плоскость П i, не проходящая через точку S, в качестве плоскости проекций (картинной плоскости). Чтобы спроецировать точку А на плоскость П i, через центр проецирования S проводят луч SА до его пересечения с плоскостью П i в точке А i.Точку А i принято называть центральной проекцией точки А, а луч SА - проецирующим лучом. Описанные построения выражают суть операции, называемой центральным проецированием точек пространства на плоскость. В евклидовом пространстве существуют точки, которые не имеют центральных проекций, и наоборот в плоскости П i есть точки, которые в пространстве не имеют оригиналов (точки D и F). Точка F прямой m принадлежит плоскости, Ω, проходящей через центр проецирования S и расположенной параллельно плоскости проекций, таким образом проецирующий луч SF параллелен плоскости проекций, а точка F, как и все точки лежащие в плоскости Ω не имеют центральных проекций на П i.
Рисунок 1. Центральное проецирование

Точка D_i проекции прямой m_i не имеет оригинала на прямой m, так как проецирующий луч SD_i параллелен прямой.

Для исключения подобных случаев евклидово пространство расширяют введением несобственных (бесконечно удаленных) точек. Такое пространство называется расширенным евклидовым пространством.

Проецирующие лучи, проведенные через все точки кривой n, образуют проецирующую коническую поверхность N (рис.2). Проекция криволинейной фигуры, таким образом, представляет собой линию пересечения проецирующей поверхности N и плоскости проекций П _i.

Рисунок 2. Центральное проецирование линии

Рисунок 3. Центральное проецирование поверхности

Коническую поверхность К образуют лучи и при проецировании трехмерной фигуры (рис. 3). Линию K _i принято называть в этом случая очерковой или очерком данной фигуры.

Центральное проецирование есть наиболее общий случай проецирования геометрических объектов на плоскости.

Основными и неизменными его свойствами (инвариантами) являются следующие:

1) проекция точки – точка;

2) проекция прямой – прямая;

3) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

По принципу центрального проецирования работают фотоаппараты и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования: роль центра проецирования выполняет оптический центр хрусталика, роль проецирующих прямых – лучи света; плоскостью проекций служит сетчатка глаза. Поэтому изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе художники, архитекторы, дизайнеры и многие другие специалисты.

		Частный случай центрального проецирования – параллельное проецирование, когда центр проецирования удален в бесконечность, при этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые. Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S (рис.4). В этом случае полученное изображение называют параллельной проекцией объекта. При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального и добавляются следующие: 1. проекции параллельных прямых параллельны между собой; 2. отношение отрезков прямой равно отношению их проекций; 3. отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций. В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольные, когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол не равный 900.
Рисунок 4. Параллельное проецирование

Прямоугольное (ортогональное) проецирование является частным случаем параллельного.

Проекция объекта, полученная с использование этого метода, называется ортогональной.

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования и кроме того, справедлива теорема о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.

К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

1. Обратимость – восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) – возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой.

2. Наглядность – чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета.

3. Точность – графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты.

4. Простота – изображение должно быть простым по построению и допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

2.