Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Используя математические формулы, выражающие теорему Стокса и теорему Гаусса , можно формулы (6.4) представить так:

(6.5)

Формулы (6.5) называются уравнениями Максвелла для электромагнитного поля в дифференциальной форме. Эти уравнения отражают тот факт, что в покоящихся средах переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле и обратно, переменное электрическое поле порождает магнитное поле. Доказывается, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца. Векторы и электромагнитного поля можно выразить через скалярный? и векторный? потенциалы , которые удовлетворяют уравнениям

, (6.6)

где - оператор Лапласа. Эти уравнения будут использованы при анализе электромагнитных волн в средах. Энергия электромагнитного поля локализована в пространстве с объемной плотностью

. (6.7)

При этом количество энергии, переносимое через единицу поверхности, перпендикулярной к направлению распространения энергии, за единицу времени, определяется вектором Пойнтинга

= [ ]. (6.8)

Векторы , и взаимно перпендикулярны. Величина вектора Пойнтинга определяет плотность потока энергии. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля определяется уравнением для объемной плотности энергии W

div + dW/dt = 0. (6.9)

Свойства электромагнитного поля различны в разных инерциальных системах отсчета. Например, если инерциальная система отсчета К неподвижна, а другая инерциальная система К' движется равномерно и прямолинейно относительно К со скоростью v и в системе К' отсутствует магнитное поле ( ^/ = 0), то в системе К =[ ]; если же в системе К' отсутствует электрическое поле (E' = 0), то в системе К = -[ ]. Таким образом, относительность магнитных и электрических полей проявляется в том, что одно из полей (электрическое или магнитное) может отсутствовать в одной инерциальной системе отсчета и присутствовать в другой инерциальной системе отсчета.