Уравнения Максвелла в интегральной форме

Как было показано в разделе 4, явление электромагнитной индукции в неподвижных проводящих контурах обусловлено тем, что переменное магнитное поле возбуждает ЭДС индукции и индукционный ток. Такой ток в замкнутом контуре может возникнуть, если в нем будет действовать вихревое электрическое поле - поле с замкнутыми силовыми линиями. Таким образом, явление электромагнитной индукции (по Фарадею) связано с возбуждением переменным магнитным полем вихревого электрического поля. Тогда циркуляция напряженности этого поля вдоль замкнутого контура L равна

. (6.1)

Дж. Максвелл сделал обобщение закона электромагнитной индукции: переменное магнитное поле в любой точке пространства создает вихревое электрическое поле. Другими словами, закон (6.1) справедлив для любого замкнутого (не только проводящего) контура, произвольно выбранного в переменном магнитном поле. Так как

,

то (6.1) перепишется как

. (6.2)

Формула (б.2) выражает первое уравнение Максвелла в интегральной форме.

Закон полного тока, записанный в виде говорит о том, что вихревое магнитное поле создается токами проводимости, где _пров - плотность токов проводимости. Максвелл сделал предположение, что источником возникновения вихревого магнитного поля является также переменное электрическое поле. Для возникновения такого тока в пространстве Максвелл ввел понятие тока смещения, плотность которого _см = d /dt, где - вектор электрического смещения. Например, плотность тока смещения в диэлектрике - плотность тока смещения в вакууме, d /dt - плотность тока поляризации ( - вектор поляризации). Тогда с учетом тока смещения обобщенный закон полного тока выразится так:

. (6.3)

Формула (6.3) являются вторым уравнением Максвелла в интегральной форме. Она показывает, что магнитное поле возбуждается токами проводимости и переменными электрическими полями.

С учетом теоремы Гаусса для электростатического поля (? - объемная плотность электрического заряда внутри замкнутой поверхности S, ограничивающей объем среды V) и постоянного магнитного поля , уравнения Максвелла в интегральной форме запишутся в виде

Уравнения Максвелла рассматривают поля, создаваемые макроскопическими зарядами и токами, сосредоточенными в объемах V, значительно больших отдельных молекул, и на расстояниях, значительно больших линейных размеров молекул. В этом смысле теория Максвелла является макроскопической теорией электромагнитных полей.