Больцмана распределение

БОЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ -статистически равновесная ф-ция распределения f (p, r)по импульсам р и координатам r частиц (атомов, молекул) идеального газа, к-рые подчиняются классич. механике и находятся во внеш. потенциальном поле (см. Статистическая физика:)

где - кинетич. энергия частицы с массой т, U (r) - её потенциальная энергия во внеш. поле, T - абс. темп-pa газа. Постоянная А определяется из условия, что суммарное число частиц по всем возможным состояниям равно полному числу частиц N в системе (условие нормировки).

Б. р. есть следствие Больцмана статистики идеального газа, находящегося во внеш. потенциальном поле [Л. Больцман (L. Boltzmann), 1868-71]. Частным случаем Б. р. при U (r) = 0 является Максвелла распределение частиц по скоростям.

В свою очередь Б. р. может быть получено из Гиббса распределения для газа, в к-ром взаимодействием частиц можно пренебречь.

Ф-цию распределения (1) иногда наз. распределением Максвелла - Больцмана, а распределением Больцмана - ф-цию распределения (1), проинтегрированную по всем импульсам частиц. Она характеризует плотность числа частиц в точке r.

где n ₀ - плотность числа частиц, соответствующая точке, в к-рой U(r)=0. Отношение плотностей числа частиц в разл. точках (r₁ и r ₂) зависит от разности потенциальных энергий частиц в этих точках:

В частном случае отсюда следует барометрическая формула,определяющая распределение плотности числа частиц в поле тяжести над земной поверхностью в зависимости от высоты H. В этом случае U(H) = mgH, где g - ускорение силы тяжести, т - масса частицы, H - высота над земной поверхностью.

Для смеси газов с частицами разл. массы Б. р. показывает, что распределение парциальных плотностей частиц для каждого компонента не зависит от др. компонентов. Для газа во вращающемся сосуде U(r)есть поле центробежных сил , где - угловая скорость вращения. На этом эффекте основано разделение изотопов и высокодисперсных систем на центрифуге.

Для квантовых идеальных газов состояния отд. частиц определяются не импульсом и координатой, а квантовыми уровнями энергии частицы в поле U(r). В этом случае ср. число заполнения i -ro квантового состояния равно

где -химический потенциал, определяемый из условия, что суммарное число частиц на всех квантовых уровнях равно полному числу частиц в системе: . Формула (3) есть предельный случай Ферми - Дирака распределения и Бозе - Эйнштейна распределения при таких темп-pax и плотностях, когда ср. расстояние между частицами значительно больше длины волны де Бройля,соответствующей ср. тепловой скорости , т. е. когда нет квантового вырождения газа.