ВОПРОС 75

1) Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (высота U и ширина l) для одномерного движения частицы:

Вид волновых функций, являющихся решениями уравнения Шредингера для областей 1, 2 и 3 (см. рисунок и таблицу) свидетельствует о том, что:

1) В области 1 волновая функция представляет собой сумму двух плоских волн — движущейся в сторону барьера и отраженной от барьера.

2) В области 2 в случае E < U:

q = i β, где

3) В области 3 имеется только волна, прошедшая через барьер(= 0), которая имеет вид волн де Бройля с той же длиной волны, но меньшей амплитудой.

Здесь

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому специфическому квантовому явлению, получившему название туннельного эффекта, в результате которого микрообъект может "пройти" сквозь потенциальный барьер.

Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение квадратов модулей прошедшей и падающей волны. Для случая прямоугольного потенциального барьера

Для потенциального барьера произвольной формы

Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса Δ p на отрезке Δ x = l составляет Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.

Туннельным эффектом называют преодоление частицей потенциального барьера в случае, когда её энергия (остающаяся при этом неизменной) меньше высоты барьера. Это явление имеет квантовую природу, так как подразумевает собой прохождение частицы сквозь область пространства, пребывание в которой запрещено классической механикой, например, перескок электрона через тонкий слой диэлектрика, разделяющий два проводника.

(Upot=Eпотенциальная)

То есть, если две области пространства разделены потенциальным барьером, где Епотенциальная>E

В квантовой же механике, мнимое значение импульса частицы соответствует экспоненциальной зависимости волновой функции от её координаты. Это показывает уравнение Шрёдингера с постоянным потенциалом:

где координата; полная энергия, потенциальная энергия, редуцированная постоянная Планка, масса частицы

Если , то решением этого уравнения является функция:

Туннельный эффект можно объяснить соотношением неопределённостей.

2)Потенциальным “ящиком” называют потенциальную яму с вертикальными стенками. Область пространства с координатами от x 1 до x 2 на рисунке и есть потенциальный “ящик”. В реальной действительности такая ситуация наблюдается, например, для электронов в металле: внутри металла они свободны, но чтобы покинуть металл, электроны должны совершить работу выхода Авых, равную

(1) Уравнение Шрёдингера для этого случая примет вид:

Граничные условия:

1) при x = 0 y (0) = 0,

2) при x = l y (l) = 0.

Условие нормировки:

(Смысл его: частица достоверно находится внутри ящика, т.е. в области координат 0 < x < l.)

Решение уравнения (1):

Получаем уравнение (2)

A0 = 0 (следует из граничного условия,что у (0) = 0,

где n = 1, 2, 3, …

Уравнение Шредингера имеет смысл только при где n = 1, 2, 3, …

a0 = 0 и подставим в уравнение (2), получим:

найдем значение А:

откуда Окончательно имеем набор пси-функций, зависящих от параметра n:

Величина n характеризует значение энергии частицы и называется квантовым числом, так как энергия принимает дискретные значения (квантуется).

Квантование энергии.

энергия частицы внутри ящика с бесконечно высокими стенками может принимать только дискретныйряд значений, пропорциональных квадрату числа n. Энергия частицы квантуется.

Относительное изменение энергии при переходе с одного уровня на соседний:

условие квантования получили из граничного условия y (l) = 0

Условие квантования энергии имеет смысл: на длине ящика должно уложиться целое число длин волн де Бройля. Действительно,

откуда