Неоднородное уравнение

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

,

где — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

или .

Решение волнового уравнения

Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны () — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны () —формула Пуассона.

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

(функция соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

имеет вид