Построение векторных диаграмм

Векторные диаграммы представляют собой совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся величины, действующие в данной электрической цепи. Они позволяют упростить расчет цепей синусоидального тока и сделать его наглядным, применив вместо алгебраического сложения или вычитания мгновенных значений синусоидально изменяющихся токов, напряжений или э. д. с сложение или вычитание их векторов. Обычно при расчете электрических цепей переменного тока нас не интересуют мгновенные значения токов, напряжений и э. д. с, требуется определить только их действующие значения и сдвиг по фазе относительно друг друга. Поэтому при построении векторных диаграмм рассматривают неподвижные векторы для некоторого момента времени, который выбирают так, чтобы диаграмма была наглядной. В качестве модулей векторов принимают действующие значения соответствующих величин. Это обусловливает лишь уменьшение длины всех векторов по сравнению с длиной, принятой на рис. 170 и 171, в 2 раз; все же углы между векторами остаются при этом неизменными.

Рассмотрим в качестве примера построение векторной диаграммы для действующих значений токов i₁, i₂ и i (рис. 172), причем согласно первому закону Кирхгофа ток i равен сумме токов i₁ и i₂. Токи i₁ и i₂ имеют различные амплитудные, а следовательно, и действующие значения и сдвинуты относительно друг друга на некоторый угол?. Путем суммирования ординат синусоид i₁ и i₂ можно получить кривую тока i, определить по ней амплитудное значение I_т, а затем и действующее значение I = I_т / i2.

Однако более удобно определять действующее значение тока i путем сложения векторов токов i₁ и i₂ согласно формуле

i =i₁ + i₂

Рис. 172. Графическое сложение двух переменных токов

Рис. 173. Векторное сложение и вычитание двух переменных токов

Сложение векторов осуществляется по правилу параллелограмма или треугольника. В первом случае (рис. 173,а) строят параллелограмм ABCD со сторонами, образованными векторами i₁ и i₂. Вектор i₁ направляют, например, горизонтально (можно начертить этот вектор и в любом другом положении), вектор i₂ — под углом φ к вектору i₁. Угол φ на векторной диаграмме отсчитывают от вектора i₁ по часовой стрелке, так как для рассматриваемого случая ток i₂ отстает от тока i₁ на угол φ. Диагональ АС векторной диаграммы дает нам суммарный вектор результирующего тока i. Во втором случае (рис. 173,б) строят треугольник ABC со сторонами АВ и ВС, равными соответствующим векторам i₁ и i₂ получают суммарный вектор i в виде гипотенузы АС этого треугольника.

Вычитание векторов двух синусоидально изменяющихся величин можно представить в виде сложения одного вектора с другим вектором, взятым с обратным знаком. Например, если известны токи i и i₁ (см. рис. 172), то действующее значение тока i₂ можно получить вычитанием из вектора i вектора i₁, т. е. i₂ = i — i₁ = i + (—i₁). Вектор -i₁ имеет такой же модуль, что и вектор +i₁, но направлен противоположно. Следовательно, операцию вычитания векторов i и i₁ можно осуществить с помощью векторных диаграмм (рис. 173, в и г).

32. Изображение электрических величин в комплексной форме:-ток;-напряжение;-сопротивление.

При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам.

Комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:

где с - модуль комплексного числа;
φ- аргумент;
a - вещественная часть комплексного числа;
b - мнимая часть;
j - мнимая единица, j = √-1.

С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи к алгебраической.

От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:

Комплексное число может быть представлено в виде радиус - вектора в комплексной плоскости. Вектор длиной, равной модулю c, расположен в начальный момент времени под углом φ относительно вещественной оси (рис.6.3).

Умножим комплексное число на множитель .
Радиус - вектор на комплексной плоскости повернется на угол β.
Множитель называется поворотным.
Рис.6.3

Если , то вектор, умноженный на , превратится во вращающийся со скоростью ω радиус - вектор.
Выражение называется комплексной функцией времени.
Применительно к напряжению, получим - комплексную функцию времени для напряжения.
- комплексная амплитуда напряжения (исходное положение вектора в комплексной плоскости). Определим, чему равна мнимая часть комплексной функции времени для напряжения.

Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени.

Замечание. В электротехнике над символами, изображающими комплексные напряжения, токи, ЭДС, принято ставить точку.
Синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция вектора на мнимую ось изменяется по синусоидальному закону.