Расчет разветвленных цепей переменного тока

Для анализа и расчета разветвленных цепей переменного тока используют проводимости, с помощью которых разветвленную цепь можно преобразовать в простейшую цепь и аналитически рассчитать токи и напряжения всех ее участков.

В цепях постоянного тока проводимостью называется величина, обратная сопротивлению участка цепи:

g = 1/ r

и ток в цепи выражается как произведение напряжения на проводимость:

I = Ug.

Рис. 2.17. Электрическая цепь (а), ее векторная диаграмма (б) и эквивалентная схема (в); векторная диаграмма цепи при резонансе

В цепях переменного тока существуют три проводимости — полная, активная и реактивная, причем только полная проводимость является величиной, обратной полному сопротивлению последовательного участка цепи.

Выражения проводимостей в цепях переменного тока можно получить следующим образом.

Ток в каждом неразветвленном участке цепи раскладывают на две составляющие, одна из которых есть проекция на вектор напряжения (активная составляющая тока I _a), а другая - на линию, перпендикулярную вектору напряжения (реактивная составляющая тока I _р).

Активная составляющая тока определяет активную мощность

P = UI cos φ = UI _a ;

реактивная составляющая тока - реактивную мощность

Q = UI sin φ = UI _р.

Из векторной диаграммы цепи рис. 2.17, а, изображенной на рис. 2.17, б, следует, что активная составляющая тока I ₁ равна

I _1a = I ₁ cos φ₁ == Ur ₁ /z ₁² = Ug ₁.

Величина g ₁ = r ₁ /z ₁² называется активной проводимостью ветви. Реактивная составляющая тока I ₁ равна I _lp = I ₁ sin φ₁ = = Ux_L/z ₁² = Ub ₁.

Величина b ₁ = x_L/z ₁² = b_{L 1} называется реактивной проводимостью ветви цепи с индуктивностью и в общем случае обозначается b_L.

Аналогично определяют активную g ₂ и реактивную b ₂ проводимости второй ветви цепи:

I _2а = I ₂cos φ₂ = U/z ₂ • r ₂ /z ₂ = Ug ₂; g ₂ =r ² /z ₂²;

I _2p = I ₂ sin φ₂ = U/z ₂• x_C /z ₂ = U_{b 2}; b ₂ = b_{C 2} = x_{C 2} /z ₂².

Реактивная проводимость ветви с емкостью в общем случае обозначается b_C.

Вектор тока первой ветви равен геометрической сумме векторов активной и реактивной составляющих тока

Ī ₁ = Ī _1а + Ī _1р,

а значение тока

I ₁ = √ I _1а² + I _1р².

Выразив составляющие тока через напряжение и проводимости, получим

I ₁ = √(Ug ₁)² + (Ub_{L 1})² = U √ g ₁² + b_{L 1}² = Uу ₁ = U/z ₁,

где у ₁ = 1 /z ₁ = √ g ₁² + b_{L 1}² — полная проводимость ветви.

Аналогично определяют и полную проводимость второй ветви:

у ₂ = 1 /z ₂ = √ g ₂² + b_С ².

Эквивалентные активную, реактивную и полную проводимости цепи получают следующим образом.

Вектор общего тока цепи равен геометрической сумме векторов токов Ī ₁ и Ī ₂:

Ī = Ī ₁ + Ī ₂

и может быть выражен через активную и реактивную составляющие тока и эквивалентные проводимости всей цепи:

Ī = Ī _а + Ī _р = Ūg _э + Ūb _э = Uу _э = U/z _э .

Активная составляющая общего тока (см. рис. 2.17, б) равна арифметической сумме активных составляющих токов ветвей:

(2.24)

I _а = I _1а + I _2а = Ug ₁ + Ug ₂ = U (g ₁ + g ₂) = Ug _э.

а реактивная составляющая - арифметической разности реактивных составляющих этих токов:

(2.25)

I _р = I _1р + I _2р = Ub_{L 1} - Ub_{C 2} = U (b_{L 1}- b_{C 2})= Ub _э.