Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном s

Т.к. мы не знакомы с законами распределения СВ, которые используются при выводе формулы, то примем ее без доказательства.

В качестве неизвестного параметра s используют исправленную дисперсию s². Заменяя s на s, t на величину t_g. Значение этой величины зависит от надежности g и объема выборки n и определяется по " Таблице значений t_g." Итак:

и доверительный интервал имеет вид

Пример1. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью 0,95, если объем выборки n =16, среднее выборочное и исправленная дисперсия соответственно равны 20,2 и 0,8.

По таблице приложения найдем t_g по заданной надежности g =0,95 и n= 16: t_g =2,13. Подставим в формулу s =0,8 и t_g =2,13, вычислим границы доверительного интевала:

,

откуда получим доверительный интервал (19,774; 20,626)

Смысл полученного результата: если взять 100 различных выборок, то в 95 из них математическое ожидание будет находится в пределах данного интервала, а в 5 из них- нет.

Пример2. Измеряют диаметры 25 корпусов электродвигателей. Получены выборочные характеристики

Необходимо найти вероятность (надежность) того, что

- является доверительным интервалом оценки математического ожидания при нормальном распределении.

Из условия задачи найдем точность d, составив и решив систему:

Откуда d =10. Из равенства

выразим

,

откуда t_g =3,125. По таблице для найденного t_g и n= 25 находим g =0,99.