Оценка погрешности метода наименьших квадратов

Для этого требуется вычислить суммы квадратов отклонений исходных данных от этих линий и , меньшее значение соответствует линии, которая лучше в смысле метода наименьших квадратов аппроксимирует исходные данные.

Так как , то прямая y = 0.165x+2.184 лучше приближает исходные данные.

Интерпояция.

Под интерполяцией понимают построение приближенного или точного аналитического выражения функциональной зависимости, если о ней известны только соотношения между независимой переменной и соответствующими значениями функции в дискретном ряде точек.

Сформулируем задачу. Имеется n + 1 точка: х ₀; х ₁; …; х _n (будем считать, что числа упорядочены по возрастанию). Известны значения некоторой функции у = f (x) в этих точках: f (x ₀); f (x ₁); …; f (x_n). Требуется восстановить функцию (т.е. найти ее значения в остальных точках интервала (х ₀; х _n).

Cамая простая интерполяция – линейная. При такой интерполяции значения функции в точке х, расположенной между точками х _iи x _i+1, принимаются равными значению линейной функции.

(*)

Легко проверить, что значения этой функции при х = х_i и при х = х _i+1 совпадают с заданными. Действительно, если подставить в формулу (*) х _i вместо х, второе слагаемое обратится в нуль и останется f (x_i), как и должно быть. Если подставить в (*) x _i+1 вместо х, то числитель дроби сократится со знаменателем, и после приведения подобных членов останется, как и должно быть, f (x_i+1).

Таким образом, находя на разных кусках отрезка разные линейные функции и «склеивая» их в точках деления (их значения там совпадают), мы получаем «кусочно-линейную функцию», дающую решение сформулированной задачи.

Интерпояционный многочлен Лагранжа.

Так называется формула для нахождения интерполяционного многочлена L (x) степени m, принимающего в (m + 1)-й заданной точке x_i промежутка [ a; b ] заданные значения f (x_i), i = 0, 1, 2, …, m. Формула имеет вид:

Легко видеть, что при подстановке в формулу значения х = х _i все члены суммы, кроме i -го, обращаются в нуль (в числителе дробей, входящих в эти члены, появляются множители, равные нулю), а в i -м члене числитель становится равным знаменателю и дробь обращается в единицу, так что остается лишь множитель f (x_i), т.е. получается, что L (x_i) = f (x_i). Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа совпадает в заданных точках с заданными значениями неизвестной функции.

2. Интервальные оценки параметров распределения.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами—концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Q* служит оценкой неизвестного пара­метра Q. Будем считать Q постоянным числом (Q может быть и случайной величиной). Ясно, что Q* тем точнее определяет параметр Q, чем меньше абсолютная величина разности |Q- Q*|. Другими словами, если d>0 и |Q- Q*| <d, то чем меньше d, тем оценка точнее.

Таким образом, положительное число d характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка Q* удовлетворяет неравенству |Q- Q*| <d; можно лишь говорить о вероятности g, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность g, с которой осуществляется неравенство |Q—Q* | <d.

Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве g берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что, |Q- Q*| <d равна g:

P(|Q- Q*| <d)= g.

Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством получим:

Р [Q* —d< Q < Q* +d] = g

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал Q* - d< Q < Q* +d заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Q, равна g.

Интервал (Q* - d Q* +d) называется доверительным интервалом, который покрывает неизвестный параметр с надежностью g.

2 .1.Интервальные оценки параметров нормального распределения.