Организационная часть урока

Имеется ввиду, что перед учащимися на уроке четко ставятся очередные учебные задачи, им понятны причины перехода от одной задаче к следующей, все они активны в решении этих задач, время на уроке рационально используется.

Достичь такой организации урока возможно, если:

1) свободно владеть материалом урока, учебным предметом в целом;

2) знать методику каждого вопроса, весь арсенал вариантов, приемов и средств его изучения:

3) знать индивидуальные особенности класса, предвидеть их затруднения и располагать материалом для загрузки более сильных учащихся;

4) продумать урок заранее во всех деталях, а в частности:

- какие понятия, свойства, правила, вычислительные приемы рассматриваются на данном уроке;

- что я сам знаю о них;

- с какими из них дети знакомятся впервые;

- с какими уже знакомы;

- когда познакомились (найти эти стр. в учебниках и изучить содержание заданий);

- какова функция учебных заданий данного урока (обучающая, развивающая, контролирующая);

- какие задания можно исключить из урока, какими можно дополнить;

- какие трудности могут возникнуть у детей при выполнении заданий;

- какие ошибки они могут допустить;

- как организовать их деятельность по предупреждению и исправлению ошибок.

Логика обдумывания урока находит отражение в конспекте. Конспект бывает полный, неполный (т.е. подробный и краткий).

Большую помощь в овладении методикой проведения уроков оказывает посещение уроков опытных учителей с последующим анализом просмотренного урока, а также анализ собственных уроков.

3. Натуральные числа и число нуль в аксиоматической теории и методика их формирования.

В связи с рассмотрением свойств натуральной последовательности раскрывается количественное и порядковое значение натурального числа.

При изучении арифметических действий натуральное число выступает в новом качестве – в качестве объектов, над которыми выполняются арифметические действия.

Число, полученное в результате арифметического действия, может быть выражено через те числа, над которыми выполнялось действие (заменено суммой или произведением чисел – состав чисел из слагаемых или множителей).

Таким образом, в начальном курсе математики раскрываются различные способы образования натурального числа (счет, измерение, выполнение арифметических действий).

При изучении нумерации натуральное число получает свое дальнейшее развитие: оно выступает как элемент упорядоченного множества или как член натуральной последовательности – это аксиоматической понятие числа (наглядно – это лента чисел в классе).

Здесь речь идет о том, что для каждого элемента множества существует элемент непосредственно следующий за ним, и для каждого элемента существует элемент, за которым непосредственно следует данный элемент.

Иными словами, дети должны усвоить предшествующее и последующее число, его место в ряде других чисел (- 1 … + 1).

Число нуль трактуется в начальном курсе как количественная характеристика класса пустых множеств. Включение числа и цифры нуль – позволяет расширить числовую область и создать надлежащие условия для овладения учащимися область целых неотрицательных чисел.

Нуль как число и цифра вводится в 1-ом классе. Сначала нуль рассматривается как цифра, обозначающая на линейке начало отмеривания, затем вводится число нуль как результат вычитания вида: 2 – 2 3 – 3 5 – 5,

что соответствует правильному толкованию сущности этого нового числа как количественной характеристики класса пустых множеств.

Далее нуль выступает как компонент действий первой ступени:

5 + 0 0 + 9 8 – 0 0 + 0 0 – 0,

а при изучении действий умножения и деления (2 класс) как компонент этих действий:

0 · 4 3 · 0 0 · 0 0: 4

Здесь же рассматривается невозможность деления на нуль (как правило-аксиома).

Далее цифра нуль используется для обозначения отсутствия единиц какого-либо разряда в записи числа: 70, 30 000, 204

4. Натуральные числа и число нуль в теории множеств.

В связи с рассмотрением свойств натуральной последовательности раскрывается количественное и порядковое значение натурального числа.

При изучении арифметических действий натуральное число выступает в новом качестве – в качестве объектов, над которыми выполняются арифметические действия.

Число, полученное в результате арифметического действия, может быть выражено через те числа, над которыми выполнялось действие (заменено суммой или произведением чисел – состав чисел из слагаемых или множителей).

Таким образом, в начальном курсе математики раскрываются различные способы образования натурального числа (счет, измерение, выполнение арифметических действий).

Одним из центральных понятий начального курса математики является понятие натурального числа.

Оно трактуется как количественная характеристика класса эквивалентных (равномощных) множеств – это теоретико-множественное понятие числа.

Равномощные множества – множества, между которыми можно установить взаимнооднозначное соответствие (множество стульев, множество студентов, множество столов).

Взаимнооднозначное соответствие – это соответствие между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел.

Отрезок натурального ряда чисел – это числа, не превышающие данного числа m и подчиняющиеся условиям:

Ø начинается с 1;

Ø и непосредственно следующие друг за другом.

Счет – это установление взаимнооднозначного соответствия между элементами множеств и отрезком натурального ряда чисел.

При этом выполняются правила:

1. предметы (элементы) не должны повторяться;

2. считать можно с любого элемента;

3. нельзя пропускать элементы множества, употребляя порядковые числа (первый, второй, третий …)

Раскрывается теоретико-множественное понятие на конкретной основе в результате практического оперирования множествами и величинами (количество предметов, длина отрезка, площадь, масса и др.).

Иными словами, формирование понятия натурального числа должно осуществляться не только в процессе счета (прямого и обратного), но и в процессе измерения величин (длина, масса, площадь, время, объем, скорость – величинное понятие числа), это позволяет связать обучение с практической деятельностью детей, опереться на имеющиеся у них числовые представления.

Именно этим объясняется знакомство с отрезком, единицами длины и измерением отрезков, начиная с изучения нумерации чисел первого десятка.

Далее примеры из учебника математики.

Число нуль трактуется в начальном курсе как количественная характеристика класса пустых множеств. Включение числа и цифры нуль – позволяет расширить числовую область и создать надлежащие условия для овладения учащимися область целых неотрицательных чисел.

Нуль как число и цифра вводится в 1-ом классе. Сначала нуль рассматривается как цифра, обозначающая на линейке начало отмеривания, затем вводится число нуль как результат вычитания вида: 2 – 2 3 – 3 5 – 5,

что соответствует правильному толкованию сущности этого нового числа как количественной характеристики класса пустых множеств.

Далее нуль выступает как компонент действий первой ступени:

5 + 0 0 + 9 8 – 0 0 + 0 0 – 0,

а при изучении действий умножения и деления (2 класс) как компонент этих действий:

0 · 4 3 · 0 0 · 0 0: 4

Здесь же рассматривается невозможность деления на нуль (как правило-аксиома).

Далее цифра нуль используется для обозначения отсутствия единиц какого-либо разряда в записи числа: 70, 30 000, 204

5. Методика изучения чисел от 11 до 20.

В концентре «Сотня» изучаются следующие вопросы:

Ø нумерация чисел,

Ø сложение и вычитание,

Ø умножение и деление.

Задача учителя при изучении этой темы – научить детей считать до 100, показать, как образуются числа из десятков и единиц, научить читать и записывать двузначные числа на основе твердого знания о том, что единицы пишутся на первом, а десятки – на втором месте, считая справа налево.

Необходимо также добиться усвоения учащимися новых понятий и терминов: единицы первого и второго разряда, разрядное число, сумма разрядных слагаемых, однозначное и двухзначное число.

В изучении нумерации выделяются две ступени: сначала изучается нумерация чисел 11-20, а затем чисел 21-100.

Такой порядок изучения обусловлен тем, что названия чисел второго десятка образуются из тех же слов, что и названия разрядных чисел (20, 30,..., 90). Однако слова «два», «три», «пять» и т.д. в числительных две-на-дцать, три-на-дцать и т.д. обозначают число единиц, а в числительных два-дцать, три-дцать и т.д. обозначают число десятков (исключение составляют числительные «сорок» и «девяносто»).

Кроме того, при написании только чисел второго десятка порядок называния составляющих их разрядных чисел и порядок записи не совпадает: сначала называются единицы (три-на-дцать), а пишется первым десяток (13), а то время как во всех остальных случаях чтение и запись разрядных чисел совпадают (23, 145, 1972 и т.п.). Эти особенности нумерации требуют того, чтобы числа второго десятка были рассмотрены отдельно.

Вместе с тем нумерация двузначных чисел до 20 и свыше 20 принципиально сходна: устная и письменная нумерация этих чисел опирается

Ø на десятичную группировку единиц при счете и

Ø на принцип поместного значения цифр при записи чисел, поэтому изучение нумерации чисел от 10 до 20 подготавливает детей к изучению чисел от 20 до 100.

Изучение устной нумерации чисел второго десятка начинается с формирования у детей понятия о десятке. Отсчитывая по 10 палочек и завязывая их в пучки, учащиеся узнают, что десять единиц образуют десяток. Затем, выполняя упражнения в счете десятков, дети убеждаются, что десятки можно считать, складывать и вычитать как простые единицы.

Далее рассматривается образование чисел от 11 до 20 из десятков и единиц и поясняются их названия. Например, учащимся предлагают положить 1 палочку на пучок — десяток палочек и посчитать, сколько всего палочек стало. Затем, опираясь на иллюстрацию, дети устанавливают десятичный состав полученного числа.

Далее вспоминают, как получить следующее число, присоединяют к 11 палочкам еще 1 палочку и объясняют, что «две на десять» — это двенадцать, что число 12 состоит из 1 десятка и 2 единиц. Аналогично рассматривается:

Ø образование и название других чисел второго десятка

Ø одновременно порядок их следования при счете.

Натуральное следование чисел удобно иллюстрировать с помощью самодельных бумажных полосок длиной 20 (потом 100) см. Используя «ленту двадцати», дети устанавливают, какое число за каким следует, какому предшествует, между какими числами находится.

Для закрепления знаний десятичного состава и натурального следования чисел в пределах 20 предлагают учащимся — сначала с опорой на наглядные пособия, а потом без них — такие упражнения:

Ø отсчитайте 15 палочек; узнайте, сколько это составляет десятков палочек и сколько отдельных палочек;

Ø возьмите 1 десяток палочек и еще 4 палочки. Сколько всего палочек взяли?

Ø сколько десятков и единиц в числе 17?

Ø какое число состоит из 1 десятка и 9 единиц? и т.п.

Далее учащиеся знакомятся со второй единицей длины — дециметром как десятком сантиметров. Включаются упражнения в черчении и измерении отрезков, длина которых выражается как в единицах одного наименования (12 см, 15 см и т. п.), так и в единицах двух наименований (1 дм 5 см, 1 дм 8 см и т.п.).

Опираясь на сравнение отрезков, дети постепенно овладевают умениями заменять крупные единицы мелкими (1 дм 3 см = 13 см) и обратно (20 см = 2 дм). При этом закрепляются знания десятичного состава.

На следующем этапе приступают к изучению письменной нумерации. Чтобы раскрыть поместный принцип записи двузначных чисел, используют абак — таблицу с двумя рядами карманов: один ряд — для палочек, другой — для разрезных цифр (рис.).

Знакомя с пособием, учитель показывает, как ставят в верхних карманах палочки, когда их 5, 9, 10, И штук. Затем ученикам предлагают разложить в карманы, например, 15, 17 палочек.

Переходя к обозначению чисел, обязательно выясняют десятичный состав каждого числа и, опираясь на него, записывают цифрами, сколько в этом числе десятков и сколько, кроме того, единиц. Сразу закрепляют полученные знания о принципе записи двузначных чисел:

Ø что обозначает цифра 7, которая стоит в записи числа 17 на первом месте справа, и

Ø что обозначает цифра 1, которая стоит на втором месте справа.

Особо рассматривается запись чисел 10 и 20: цифра 1 (2) показывает, что в числе содержится 1 десяток (2 десятка), цифра 0 — в числе отсутствуют единицы.

Упражняясь в записи чисел, учащиеся закрепляют знания десятичного состава и натурального следования чисел в пределах 20.

Опираясь на наглядные пособия, учащиеся, знакомятся со случаями сложения и вычитания вида: 10 + 5, 15 — 5, 15 — 10.

Выполняя такие вычисления, учащиеся закрепляют знания десятичного состава чисел: например, 10 + 5, десять — это 1 десяток, 1 десяток и 5 единиц составляют число 15; 15 — 10, пятнадцать — это 1 десяток и 5 единиц, вычтем 10, или 1 десяток, получится 5 единиц.

Сопоставляя числа, учащиеся устанавливают, что для записи числа, состоящего из единиц, требуется одна цифра (один знак); для записи числа, состоящего из десятков или десятков и единиц, требуется две цифры (два знака).

Вводятся термины «однозначные» и «двузначные» числа.

В заключение составляется таблица всех случаев сложения с переходом через десяток:

9 + 2 = 11 8 + 3 = 11 7 + 4 = 11 6 + 5 = 11

9 + 3 = 12 8 + 4 = 12 7 + 5 = 12 6 + 6 = 12

9 + 4 = 13 8 + 5 = 13 7 + 6 = 13

9 + 5 = 14 8 + 6 = 14 7 + 7 = 14

9 + 6 = 15 8 + 7 = 15

9 + 7 = 16 8 + 8 = 16

9 + 8 = 17

9 + 9 = 18

6. Методика изучения чисел от 21 до 100.

В концентре «Сотня» изучаются следующие вопросы:

Ø нумерация чисел,

Ø сложение и вычитание,

Ø умножение и деление.

Задача учителя при изучении этой темы – научить детей считать до 100, показать, как образуются числа из десятков и единиц, научить читать и записывать двузначные числа на основе твердого знания о том, что единицы пишутся на первом, а десятки – на втором месте, считая справа налево.

Необходимо также добиться усвоения учащимися новых понятий и терминов: единицы первого и второго разряда, разрядное число, сумма разрядных слагаемых, однозначное и двухзначное число.

В изучении нумерации выделяются две ступени: сначала изучается нумерация чисел 11-20, а затем чисел 21-100.

Такой порядок изучения обусловлен тем, что названия чисел второго десятка образуются из тех же слов, что и названия разрядных чисел (20, 30,..., 90). Однако слова «два», «три», «пять» и т.д. в числительных две-на-дцать, три-на-дцать и т.д. обозначают число единиц, а в числительных два-дцать, три-дцать и т.д. обозначают число десятков (исключение составляют числительные «сорок» и «девяносто»).

Кроме того, при написании только чисел второго десятка порядок называния составляющих их разрядных чисел и порядок записи не совпадает: сначала называются единицы (три-на-дцать), а пишется первым десяток (13), а то время как во всех остальных случаях чтение и запись разрядных чисел совпадают (23, 145, 1972 и т.п.). Эти особенности нумерации требуют того, чтобы числа второго десятка были рассмотрены отдельно.

Вместе с тем нумерация двузначных чисел до 20 и свыше 20 принципиально сходна: устная и письменная нумерация этих чисел опирается

Ø на десятичную группировку единиц при счете и

Ø на принцип поместного значения цифр при записи чисел, поэтому изучение нумерации чисел от 10 до 20 подготавливает детей к изучению чисел от 20 до 100.

Изучение нумерации чисел в пределах 100 идет в таком же плане, как и в пределах 20:

Ø сначала изучается устная,

Ø затем письменная нумерация.

На основе счета десятков (I дес, 2 дес., 3 дес. и т.д.) раскрывается образование и название чисел20, 30 и т.д., а затем на основе счета десятков и единиц образование и название чисел вида 25, 37 (4 дес. 5 ед.— это 45 и т.п.).

Усвоению десятичного состава чисел способствуют упражнения в образовании и разложении чисел.

Какое число составляют 5 дес. 7 ед.?

Сколько десятков и единиц в числе 62? и т.п.

С этой же целью рассматривается сложение и вычитание вида:

70 + 5 8 + 20 34 – 4 48 – 40

Приемы вычислений здесь те же самые, что и для аналогичных случаев в пределах 20, и методика работы сходна.

Как и при изучении нумерации чисел второго десятка одновременно с нумерацией отвлеченных чисел рассматривается

Ø измерение величин,

Ø сравнение значений величин,

Ø замена крупных единиц мелкими и мелких крупными.

Одновременно с десятичным составом рассматривается натуральное следование чисел первой сотни. Для этого включаются упражнения в счете предметов, в присчитывании по одному и по десять с опорой на наглядное пособие — «ленту ста».

При изучении письменной нумерации чисел в пределах 100 опираются на умение учащихся записывать числа второго десятка, а также на знания десятичного состава чисел первой сотни.

Сначала числа иллюстрируют палочками и пучками палочек на абаке, после чего обозначают число единиц и число десятков разрезными цифрами. Рассмотрев, таким образом, несколько чисел (например: 16, 26, 66, 60 и др.), учащиеся делают вывод о том, что в двузначном числе единицы пишутся на первом месте, а десятки — на втором, считая справа налево.

Усваивается этот вывод в процессе выполнения таких упражнений:

Ø объясните, что обозначает каждая цифра в записи чисел (77, 25, 52, 90 и т.п.),

Ø запишите с помощью данных цифр (например, 5, 7, 1) всевозможные двузначные числа (при записи отдельных чисел можно использовать одну и ту же цифру дважды).

При изучении письменной нумерации учащиеся знакомятся с разрядом и разрядным числом. Учитель поясняет, что, например, в числе 57 содержится 5 десятков и 7 единиц или иначе можно сказать: 5 единиц второго разряда и 7 единиц первого разряда. Полезно при этом использовать наглядное пособие — карточки с разрядными числами, которые имеются в приложении к учебнику математики I класса.

Практические действия с карточками помогают детям овладеть умением представлять число в виде суммы разрядных слагаемых 48 = 40 + 8, что необходимо для выполнения действий над двузначными числами.

Усвоение нумерации требует длительных упражнений, поэтому в дальнейшем, при изучении сложения и вычитания в пределах 100, систематически включают в устные упражнения задания по устной и письменной нумерации чисел.

7. Методика изучения чисел в пределах 1000.

Нумерация чисел в пределах 1000 и арифметические действия над ними выделяются в особый концентр по следующим причинам.

1) заканчивается изучение нумерации чисел первого класса — класса единиц,

2) это есть основа для усвоения нумерации многозначных чисел, так как следующие классы: второй класс — класс тысяч, третий класс — класс миллионов и т.д.— строятся по аналогии с первым классом.

3) устная и письменная нумерация трехзначных чисел должна быть прочно и осознанно усвоена детьми.

В концентре «Тысяча» закрепляются знания устных приемов вычислений. Как и раньше, приемы вычислений раскрываются с опорой на теорию арифметических действий (свойства, взаимосвязь прямых и обратных действий). Это дает возможность учащимся не только самостоятельно объяснять ранее изученные приемы вычислений, применяемые теперь к трехзначным числам, но и «открывать» новые вычислительные приемы.

В концентре «1000» начинается работа над письменными приемами сложения и вычитания, поскольку здесь можно рассмотреть важнейшие случаи и раскрыть письменные приемы этих действий, а также показать преимущество письменных приемов над устными при вычислениях с многозначными числами. Материал рассматривается в таком порядке:

- нумерация,

- сложение и вычитание (устные, а затем письменные приемы вычислений),

- умножение и деление (устные приемы вычислений).

Одновременно ведется работа:

- над составными задачами,

- работа над числовыми и буквенными выражениями,

- над равенствами и неравенствами, уравнениями,

- над геометрическим материалом (закрепляются умения измерять и вычислять периметр фигур, чертить круги называть его элементы).

Задача учителя при изучении нумерации — научить детей считать предметы в пределах 1000:

- путем присчитывания по одному и

- используя группировку предметов в десятки и сотни.

Необходимо научить детей

- называть,

- записывать и

- читать трехзначные числа.

Дети должны:

- понять образование этих чисел из сотен, десятков и единиц,

- усвоить названия разрядных единиц и их соотношение,

- уметь представлять число как сумму разрядных слагаемых,

- находить общее число единиц любого разряда в данном числе.

Надо, закрепить также знания учащихся о натуральной последовательности чисел.

Подготовительную работу к изучению нумерации целесообразно начинать заранее, до перехода к концентру «Тысяча», систематически включая устные упражнения на повторение нумерации чисел первой сотни:

1. Сколько десятков в сотне? Во сколько раз десяток больше единицы? На сколько десяток меньше, чем сотня?

2. Какое число состоит из 5 десятков и 7 единиц; из 6 единиц II разряда и 3 единиц I разряда? Сколько единиц каждого разряда в числах 49, 94?

3. Присчитывайте по 1 (по 5, по 10), начиная с числа 10 (20 и т.п.); назовите еще несколько чисел, следующих в ряду 34, 35, 36,...; назовите соседей числа 99 при счете. Как образуются эти числа?

Кроме того, рекомендуется создать у детей интерес к «большим числам». Названия новых чисел должны зазвучать на уроках прежде, чем эти числа станут предметом специального изучения.

С этой целью на заключительном этапе работы над первой сотней:

- полезно выяснить, кто из детей умеет считать «дальше ста».

- включать упражнения по называнию чисел, выходящих за пределы первой сотни (например, предложить назвать еще 5—7 чисел в каждом ряду:

а) 95, 96, 97,...;

б) 50, 60, 70,...;

в) 92, 94, 96,....

Это поможет учащимся осознать, что существуют числа больше ста, что они имеют сходство с числами, которые известны детям.

Изучение устной нумерации в пределах 1000 начинается с формирования у детей понятия о сотне как о новой счетной единице.

Для этого считают какие-либо предметы по одному, десятками, сотнями. В практике часто используют палочки и пучки палочек, можно также использовать наглядное пособие «Квадраты и полоски».

Оно изготовляется из плотной бумаги, единицы обозначаются квадратами (квадратный сантиметр), десятки — полосками, по 10 квадратов в каждой, а сотни — квадратами, по 10 полосок в каждом (квадратный дециметр). Такое пособие для индивидуального пользования можно изготовить с детьми на уроках труда. С этой же целью можно использовать кубики и бруски «арифметического ящика».

сотни

десятки

единицы

Затем вводят названия новых разрядных чисел — круглых сотен (1 сотня квадратов — это сто квадратов, 2 сотни квадратов — двести квадратов и т.д.).

На следующем этапе учащиеся знакомятсяс образованием чисел из сотен, десятков, единиц. Используя наглядные пособия, дети изображают числа, которые состоят из разрядных чисел (например, 2 сотни, 3 десятка, 5 единиц; 2 сотни 5 единиц; 2 сотни 3 десятка и т. п.), и учатся называть такие числа. Предлагаются и обратные упражнения — указать, сколько сотен, десятков и единиц содержится в названных числах.

При ознакомлении с письменной нумерацией чисел, в пределах 1000, опираясь на умения детей записывать двузначные числа, надо показать, что сотни, т.е. единицы III разряда, записывают на третьем месте, считая справа налево.

Дети знают, что:

простые единицы — это единицы I разряда,

десятки — единицы II разряда;

теперь они узнают, что сотни — это единицы III разряда, и записывают числа, состоящие, например, из 6 единиц III разряда, 5 единиц I разряда, а также могут откладывать их на счетах.

Вводится термин «трехзначное число». На основе наблюдений учащиеся делают вывод о том, что единицы пишутся на 1-м месте, десят­ки на 2-м, а сотни на 3-м месте, считая справа налево, и что если в числе отсутствуют единицы I или II разряда, то на их месте пишется нуль.

Заканчивая изучение нумерации, целесообразно привести в систему знания детей по данному разделу. Можно включить несколько раз такое задание — рассказать о заданном числе (например, 244, или 303, или 900) все, что дети знают.

Знания и умения по нумерации требуют длительного закрепления.

8. Методика изучения многозначных чисел.

Нумерация многозначных чисел и действия над ними выделяются в особый концентр потому, что нумерация чисел за пределами 1000 имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса – это важнейшее понятие нашей системы счисления необходимо раскрыть.

Арифметические действия над многозначными числами выполняются с использованием как устных, так и письменных приемов вычислений. Выработка осознанных и прочных навыков письменных вычислений — одна из основных задач изучения действий над многозначными числами.

Порядок изучения вопросов в концентре «Многозначные числа» такой:

- нумерация,

- сложение и вычитание,

- умножение и деление.

- одновременно рассматриваются задачи, измерение величин, алгебраический и геометрический материал.

Нумерация многозначных чисел

Основные задачи учителя при изучении этой темы:

- сформировать понятие о новой счетной единице — тысяче как единице второго класса;

- опираясь на понятие класса, научить читать и записывать многозначные числа;

- обобщить знания детей о нумерации целых неотрицательных чисел.

На этапе подготовки к изучению темы необходимо закрепить знания детей о соотношении известных им разрядных единиц, о десятичном составе трехзначных чисел, о натуральной последовательности чисел в пределах 1000, опринципах записи трехзначных чисел.

При повторении нумерации чисел в пределах 1000 целесообразно упражнять детей в обозначении чисел на счетах.

Полезно заранее сообщить детям о том, что они скоро будут учиться считать до миллиона и записывать многозначные числа, предложить несколько устных заданий на присчитывание с выходом за 1000. Это способствует появлению интереса у детей к данной теме, активизирует их самостоятельную познавательную деятельность.

Изучение нумерации многозначных чисел начинают с того, что повторяют, как можно получить тысячу. Присчитывая по одному, начиная, например, с числа 995, учащиеся выписывают ряд чисел до 1000 включительно и устанавливают, что после наибольшего трехзначного числа идет первое, самое маленькое четырехзначное — 1000.

Используя счеты, повторяют также образование разрядных единиц в результате группировки предшествующих, более мелких единиц (10 ед. = 1 дес.; 10 дес. = 1 сот.; 10 сот. = 1 тыс.).

Основными наглядными пособиями являются счеты и нумерационная таблица (таблица разрядов и классов). Полезно эти пособия иметь не только для общеклассного, но и для индивидуального пользования.

Учитель поясняет, что тысячи можно считать как простые единицы (1 тыс., 2 тыс. и т. д.) и группировать их в десятки и сотни. Используя счеты, ведут счет единиц тысяч (откладывая их на четвертой проволоке снизу) до 10 тысяч, которые заменяют 1 десятком тысяч (откладывают на пятой проволоке снизу), затем считают десятки тысяч и, получив 10 десятков тысяч, заменяют их 1 сотней тысяч (откладывают на шестой проволоке снизу), наконец, считают сотни тысяч до 10 и заменяют 10 сотен тысяч 1 миллионом (откладывают на седьмой проволоке снизу).

Целесообразно образование новых разрядных единиц зафиксировать в записи:

10 ед. тыс.= 1 дес. тыс.,

10 дес. тыс.= 1 сот. тыс.,

10 сот. тыс.«=1 млн., расположив ее столбиком рядом с предыдущими записями. Это поможет детям увидеть сходство в образовании и названиях разрядных единиц (10 единиц составляют 1 десяток, 10 единиц тысяч составляют 1 десяток тысяч и т.д.).

Затем идет работа с нумерационной таблицей, в которой обозначены (или обозначаются самими детьми) названия всех разрядных единиц от единиц до сотен тысяч.

Учитель дает пояснение (или дети читают по учебнику) о том, что:

- единицы, десятки и сотни образуют I класс, или класс единиц, а

- единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч образуют II класс, или класс тысяч (соответствующие записи вносятся в таблицу).

Полезно сравнить I и II классы и установить их сходство и различие: в каждом классе по три разряда, единица каждого разряда в 10 раз больше предыдущей, но в I классе считают и группируют единицы, а во II классе — тысячи.

Далее изучаются числа II класса (круглые тысячи).

Начать работу можно с изображения чисел на счетах. Дети вспоминают, где на счетах откладывают единицы, десятки, сотни (т.е. числа I класса), а где единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч (числа II класса). Помочь детям запомнить расположение на счетах разрядных единиц можно так: на вертикальную планку счетов прикрепить бумажную полоску с номерами классов и разрядов.

Сначала учащиеся обозначают на счетах числа I класса (например, 7, 97, 697, 600 и т.п.), а затем числа II класса (7 тыс., 47 тыс., 547 тыс.).

Последнее упражнение можно повторить, отложив на счетах числа «потруднее»: 670 тыс., 600 тыс., 70 тыс.

Аналогичная работа может быть проведена по нумерационной таблице (начерченной на доске и в тетрадях или данной в учебнике), но основное внимание теперь надо обратить на особенности записи чисел II класса; три нуля на конце обозначают отсутствие единиц I, II и Ш разрядов, т.е. отсутствие единиц I класса (но не отсутствие самих разрядов или класса, как говорят иногда дети).

На этом этапе рассматривается также десятичный состав чисел II класса:

- назовите число, в котором 3 сотни тысяч и Б десятков тысяч (3 сотни тысяч и 5 единиц тысяч и т.п.).

- сколько единиц каждого разряда в числе 782 тыс.?

- сложите числа 500 000 + 40 000 + 8000;

- замените число 675000 суммой разрядных слагаемых.

Этому же способствуют устные вычисления вида: 200 тыс. + 60 тыс. 375 тыс. – 75 тыс.

В результате выполнения таких упражнений учащиеся придут к обобщению:

- числа II класса образуются из тысяч точно так же, как числа I класса из единиц;

- при чтении чисел II класса добавляют слово «тысячи», а на письме пишут в классе тысяч, т.е. пишут цифрами на четвертом, пятом и шестом местах, считая справа налево.

На следующем этапе приступают к изучению нумерации многозначных чисел, состоящих из единиц первого и второго класса. Первые упражнения можно провести, используя нумерационную таблицу.

Второй класс – класс тысяч	Первый класс – класс единиц
VI разряд сотни тысяч	V разряд десятки тысяч	IV разряд тысячи	III разряд сотни	II разряд десятки	I разряд единицы

Например, на таблице обозначено число 438 000. После выяснения значения трех нулей в записи этого числа к нему прибавляют число I класса (положим, 127).

Карточки с цифрами, обозначающими число I класса, помещаются прямо на нули в записи числа II класса. Это дает возможность наглядно иллюстрировать затем запись чисел с нулями (вида 438107, 438120, 438007). Аналогично рассматривается еще несколько многозначных чисел.

Учащиеся:

Ø читают числа,

Ø записывают их сначала в таблице разрядов, а затем без нее.

Для закрепления уме­ний читать и записывать многозначные числа полезно сразу же включить упражнение, обратное первому,— на замену многозначного числа суммой чисел I и II класса (35 708 = 35 000 + 708, 400 009 = 400 000 + 9 и т. п.). Обратить внимание детей, что при записи чисел полезно отделять классы небольшим промежутком.

На уроках по изучению нумерации важно использовать материал, взятый из жизни, характеризующий развитие нашей страны и братских стран социализма, достижения в завоевании космоса, интересные числовые данные о животных и растениях и т.п.

Далее учащиеся не только учатся читать и записывать многозначные числа в пределах миллиона, но и более подробно останавливаются на десятичном составе чисел, а также на их натуральной последовательности.

Называя непосредственно следующее и предшествующее число относительно данного, решая примеры вида: а±1, учащиеся вспоминают, как образуются числа при счете (в натуральном ряду). Следует остановиться на рассмотрении последовательности однозначных, двузначных и т.д. чисел, в каждой из которых есть первое (наименьшее) и последнее (наибольшее) число, полезно вместе с детьми сделать такую схематическую запись: 1, 2, 3,..., 9, 10,,.., 99, 100,...,999, 1000,..., 9999, 10 000,..., 99 999, 100000,..., 999999, 1000 000, …

Используя такую запись, дети легко подмечают, что после наибольшего однозначного идет наименьшее двузначное, после наибольшего двузначного идет наименьшее трехзначное и т.д. Кроме того, выписав наименьшее и наибольшее шестизначной число, они без труда устанавливают, что можно и далее называть числа, присчитывая по одному, и что затем пойдут семизначные, восьмизначные и т. д. числа. Таким образом, учащиеся подходят к пониманию бесконечности натурального ряда чисел.

На следующем этапе переходят к з а к р е п л е н и ю знаний и умений учащихся.

Увеличение и уменьшение числа в 10, 100, 1000 раз основывается на применении имеющихся у детей знаний о поместном значении цифр при записи чисел. Учитель организует наблюдения детей за изменением значения цифры при перемещении ее в записи числа, которое происходит, если приписать к числу или отбросить один, два, три нуля. Эти знания учащиеся сразу же применяют к решению примеров на умножение и деление чисел на 10, 100 и 1000.

Закреплению знаний по нумерации помогают упражнения в преобразовании натуральных чисел и величин — замена мелких единиц крупными и, обратно, замена крупных единиц мелкими. Вначале эти задания выполняются на основе нумерации, а потом уже способы преобразований обобщаются в виде правил. Так, заменяя единицы десятками, учащиеся поясняют преобразования:

50 = 5 дес. 100 = 10 дес.

120 = 10 дес. + 2 дес. = 12 дес.

1120 = 100 дес.+ 10 дес + 2 дес. = 112 дес. и т. п.

Преобразования величин чисел сводятся к соответствующим операциям над натуральными числами: чтобы установить, сколько метров содержится в 7200 см, вспомним, что каждая сотня сантиметров составляет метр; найдем, сколько сотен в данном числе (72) — сколько будет метров.

Далее рассматриваются более трудные случаи преобразования натуральных чисел и величин. Например, требуется найти, сколько всего десятков (сотен, тысяч) в числах вида 75475, 70 009 и т.п., заменить значение величины, выраженной в единицах одного наименования, значением той же величины, выраженной в единицах двух наименований:

1845 см — □ м □ см и, обратно:

25 кг 500 г = □ г,

75 руб. 05 коп. = □ коп. и т д.

На основе сопоставления полученного числа и данного учащиеся приходят к выводу:

- чтобы узнать, сколько десятков содержится во всем числе, надо отбросить в нем единицы и прочитать оставшееся число;

- чтобы узнать, сколько сотен содержится во всем числе, надо отбросить единицы и десятки и прочитать оставшееся число, и т. д.

На следующем этапе работы учащиеся знакомятся с нумерацией 7—9-значных чисел, что дается также в основном с целью закрепления и обобщения знаний о десятичной системе счисления и натуральном ряде чисел. Работа над этими числами строится по такому же плану, как и над 4—6-значными числами.

Учащиеся читают задание по таблице вслух или про себя и выполняют его устно или письменно. Можно иногда предла­гать не все, а часть заданий. «Схема разбора числа» помогает закреплять знания детей по основным разделам нумерации.

Расширить и углубить знания по нумерации можно на внеклассных занятиях (например, на тему «Как считали люди в далеком прошлом», «Числа-великаны» и др.).

9. Методика раскрытия конкретного смысла действия сложения.