Пересечение повехности и линии. алгоритм решения, определение видимости

Для нахождения точек встречи прямой с поверхностью любого типа, т.н. точек входа и выхода, поступают точно так же, как и при нахождении точек встречи прямой с плоскостью:

o Прямую заключают в плоскость-посредник S: m S

o Определяют линию пересечения l плоскости S с поверхностью : l=S

o Искомые точки входа и выхода прямой m определяют как результат пересечения её с линией пересечения l: t_1,2=l m

Чтобы получить рациональное решение, следует использовать наиболее простой способ получения линии пересечения l. В качестве линии пересечения стремятся получить либо прямую, либо окружность. Этого можно достичь:

o путём выбора положения вспомогательной секущей плоскости;

o переводом прямой в частное положение.

В качестве вспомогательной может быть выбрана как плоскость частного, так и плоскость общего положения.

Пример 1. Дано: Наклонная трёхгранная призма, стоящая на плоскости H.

Нужно: Найти точки пересечения её поверхности c прямой m общего положения.

Рис.1

Пример 2. Дано: Прямой круговой конус.

Нужно: Построить точки пересечения поверхности конуса и прямой m общего положения.

Заключим прямую n в плоскость, проходящую через вершину S конуса. Для этого возмём точку 1 на n (S T) (m T). Через S₂ проводим фронтальную проекцию горизонтали. Находим след прямой n. Через него проводим T_H h.

Рис.2

В общем случае для графического определения точек пересечения линии с поверхностью (рис.8.28) необходимо выполнить ряд геометрических построений, описываемых следующим алгоритмом:

1. Заключаем линию l в некоторую вспомогательную поверхность Δ;

1. Строим линию m пересечения данной поверхности Ф и вспомогательной поверхности Δ;

2. Определяем искомую точку К пересечения линии l и m (точка может быть не единственная).

В качестве вспомогательной поверхности целесообразно использовать проецирующую цилиндрическую поверхность, направляющей которой должна служить заданная линия, а –прямолинейными образующими – проецирующие прямые.

Пример: Определить точки пересечения прямой линии с поверхностью конуса вращения и определить видимость прямой по отношению к конусу.

Если в качестве вспомогательной секущей плоскости можно выбрать горизонтально проецирующую или фронтально проецирующую плоскости, то в сечении получатся соответственно гипербола (рис.8.29а) или эллипс (рис.8.29б). Построение кривых линий значительно усложняет задачу.