Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка . Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию. Рациональная функция x под знаком корня n -ой степени, т.е. выражение вида , интегрируется с помощью подстановки . Интегрирование иррациональных функций, содержащих и , рассматривается на странице Тригонометрические и гиперболические подстановки
Пример 1
Найти интеграл .
Решение.
Сделаем подстановку:
Вычислим интеграл
Пример 2
Вычислить интеграл .
Решение.
Используем следующую подстановку:
Тогда интеграл (обозначим его как I) равен
Разделим числитель на знаменатель, выделив правильную рациональную дробь.
Находим искомый интеграл:
Пример 3
Вычислить интеграл .
Решение.
Запишем интеграл в виде
Поскольку наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 3, то сделаем замену:
Получаем новый интеграл
Сделаем еще одну замену:
Находим окончательный ответ:
Пример 4
Вычислить интеграл .
Решение.
Запишем интеграл в более удобном виде:
Сделаем подстановку:
Интеграл через новую переменную u имеет вид
Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, разделим числитель на знаменатель.
Окончательно получаем
Пример 5
Вычислить интеграл .
Решение.
Перепишем интеграл в виде
Как видно, наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 12. Поэтому используем подстановку
Интеграл принимает вид
Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, чтобы избавиться от неправильной рациональной дроби.
После несложных преобразований получим окончательный ответ.
studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования(0.007 с)...
используется подстановка 
. Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме 
, интегрируется с помощью подстановки 
. Интегрирование иррациональных функций, содержащих 
и 
, рассматривается на странице Тригонометрические и гиперболические подстановки
.
Решение.
Сделаем подстановку:
Вычислим интеграл
.
Решение.
Используем следующую подстановку:
Тогда интеграл (обозначим его как I) равен
Разделим числитель на знаменатель, выделив правильную рациональную дробь.
Находим искомый интеграл:
.
Решение.
Запишем интеграл в виде
Поскольку наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 3, то сделаем замену:
Получаем новый интеграл
Сделаем еще одну замену:
Находим окончательный ответ:
.
Решение.
Запишем интеграл в более удобном виде:
Сделаем подстановку:
Интеграл через новую переменную u имеет вид
Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, разделим числитель на знаменатель.
Окончательно получаем
.
Решение.
Перепишем интеграл в виде
Как видно, наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 12. Поэтому используем подстановку
Интеграл принимает вид
Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, чтобы избавиться от неправильной рациональной дроби.
После несложных преобразований получим окончательный ответ.
.
Решение.
Сделаем подстановку:
Получаем
.
Решение.
Используем подстановку
Тогда интеграл равен
