Теплопроводность плоской многослойной стенки

В практике технических расчётов чаще встречаются многослойные плоские стенки. При условии плотного прилегания отдельных слоёв решение задачи теплопроводности, полученное для однослойной плоской стенки, можно распространить и на многослойную стенку.

Для примера рассмотрим задачу о теплопроводности плоской трёхслойной стенки (рис. 9.5.).

Рис. 9.5. Плоская многослойная стенка

Каждый из слоёв состоит из однородного материала с коэффициентом теплопроводности каждого слоя λ ₁, λ ₂, λ ₃. Известны температуры наружных поверхностей многослойной стенки t _ст1 и t _ст4 и толщина каждого слоя δ ₁, δ ₂, δ ₃. Предположим, что температуры t _ст1 и t _ст4 постоянны, т. е. рассматриваем опять одномерную задачу; тогда постоянной и одинаковой для всех слоёв будет и плотность теплового потока. Требуется определить величину q и температуры соприкасающихся поверхностей слоёв t _ст2 и t _ст3, которые по условиям задачи неизвестны.

Согласно закону Фурье плотность теплового потока через каждый из слоёв можно записать так:

Имеем три уравнения с тремя неизвестными:

(9.18)

Сложим левые и правые части уравнений (9.18):

откуда:

(9.19)

Теперь, зная q, из уравнений (9.18) легко найти интересующие нас значения промежуточных температур t _ст2 и t _ст3:

Очевидно, что если стенка будет иметь n слоёв, то:

(9.20)

Величины называются частными тепловыми (термическими) сопротивлениями теплопроводности, а

(9.21)

общим тепловым (термическим) сопротивлением теплопроводности.

Теперь можно записать формулу (9.20) в таком виде:

(9.22)

Следовательно, плотность теплового потока через плоскую многослойную стенку пропорциональна разности температур на наружных поверхностях и обратно пропорциональна тепловому сопротивлению, равному сумме тепловых сопротивлений отдельных слоёв.

Температура в каждом слое стенки при λ = const меняется линейно. Следовательно, для многослойной стенки температурная кривая представляет собой ломаную линию.

Тангенс угла наклона каждого отрезка представляет собой градиент температуры в переделах данного слоя, значение которого можно найти из уравнения (9.16), если продифференцировать его:

(9.23)

Это уравнение показывает, что линия t = t (x) расположена тем круче, чем больше плотность теплового потока через стенку и чем меньше коэффициент теплопроводности материала стенки.

В многослойной стенке величина q одинакова для всех слоев. В этом случае угол наклона температурной линии тем ближе к 90°, чем меньше λ. Так, в примере на рис. 9.5. принято, что λ ₃ < λ ₁ < λ ₂.