Билет 45. Теплопроводность плоской однослойной стенки

Рассмотрим плоскую однородную стенку толщиной δ, выполненную из материала, коэффициент теплопроводности которого λ не зависит от температуры. Левая поверхность стенки поддерживается при заданной постоянной по высоте стенки температуре t _ст1, правая – при более низкой, но тоже постоянной температуре t _ст2.

Температура стенки будет меняться только по её толщине, в направлении оси х (рис. 9.4.), т. е. температурное поле будет одномерным, а градиент температуры будет равен .

Рис. 9.4. Плоская однослойная стенка

Найдём плотность теплового потока через заданную стенку и установим характер изменения температуры по толщине стенки.

Уравнение Фурье для одномерного температурного поля будет:

Чтобы проинтегрировать это уравнение, разделим переменные:

После интегрирования получим уравнение температурного поля для λ = const

(9.16)

Чтобы найти постоянную интегрирования, используем известные значения температур: при х = 0, t = t _ст1 , а при х = δ, t = t _ст2.

Отсюда с = t _ст1, а следовательно, уравнение (9.16) будет иметь вид:

Решая уравнение относительно q, получаем:

(9.17)

Плотность теплового потока в плоской стенке прямо пропорциональна коэффициенту теплопроводности, перепаду температур и обратно пропорциональна толщине стенки.

В формуле (9.17) считается, что λ не зависит от температуры. Если λ зависит от температуры то вычисляется среднее значение коэффициента теплопроводности по выражению:

где λ ₁ – коэффициент теплопроводности при температуре t _ст1;

λ ₂ – коэффициент теплопроводности при температуре t _ст2.

Изменение температуры по толщине стенки описывается уравнением (9.16). Подставляя в него выражение для q из (9.17) и значение с = t _ст1, получим:

Температура по толщине однородной стенки изменяется по закону прямой линии.