Мультипликативность функции Эйлера

Одним из основных свойств функции Эйлера является её мультипликативность. Это свойство было установлено еще Эйлером и формулируется оно следующим образом: для любых взаимно простых чисел и ^[4]

Теорема Ферма-Эйлера или теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов гласит^[1]:

Нечётное простое число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда оно имеет вид . Иначе говоря:

В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.

Примеры:

Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда любое простое число вида входит в его разложение на простые множители в чётной степени.

Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.

13. Матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Приведение к ступенчатому виду. (http://www.math.by/algebra/tosteptype.html)

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы^[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

• сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
• умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую строк);
• в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы);
• умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр).

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.