![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В методах Эйлера и Рунге-Кутта при вычислении следующей точки (xi+1, yi+1) используется информация только о точке (xi, yi), но не о предыдущих точках. И так как эта информация не используется, а также поскольку для метода Рунге-Кутта отсутствуют достаточно простые способы оценки ошибки (погрешности), то целесообразно рассмотреть некоторые дополнительные методы решения дифференциальных уравнений.
В методах прогноза-коррекции, как ясно из названия вначале «предсказывается» значение yi+1, а затем используется тот или иной метод для «корректировки» этого значения. После этого можно использовать формулу коррекции для вторичной «корректировки» того же значения yi+1. Этот итерационный процесс можно повторять сколько угодно раз, но для эффективности желательно уменьшить число итераций, выбирая шаг интегрирования.
Существует целый ряд методов прогноза и коррекции – метод Адамса, метод Милна и т.д. Отличаются методы количеством точек, опираясь на которые получают последующую точку.
Рассмотрим наиболее простой метод прогноза и коррекции для решения задачи Коши первого порядка.
Дано дифференциальное уравнение с начальным условием
. Необходимо найти таблицу значений функции
на отрезке
методом прогноза и коррекции.
Разобьем отрезок на n частей с шагом
, построим систему равноотстоящих точек
.
Формула прогноза.
Так как для предсказания последующей точки необходимо опираться на несколько предыдущих точек, а в задаче Коши дается только одно начальное значение, то еще одно значение найдем, воспользовавшись другим методом, например, методом Рунге-Кутта, т.к. он точнее метода Эйлера. Таким образом, у нас имеются две начальные точки: (x0, y0) и (x1, y1).
Геометрически предсказание сводится к следующему:
1) В точке проводим касательную L1.
2) Через точку проводим прямую L, параллельно L.
3) Будем полагать, что предсказанное значение будет расположено там, где прямая L пересечется с прямой
.
Рассмотрим треугольник ABC. Значение можно получить, добавив к y0 приращение
. Найдем ВС: так как прямые L и L1 параллельны, то тангенс угла наклона у них одинаковый, следовательно,
.
Таким образом,
Теперь необходимо скорректировать предсказанное значение.
Формула коррекции
1) L1 – та же самая.
2) Т.к. y2 приближенно известно, то можно вычислить наклон касательной в точке – касательная L2.
3) Усредняем тангенсы L1 и L2 (биссектриса), получим прямую .
4) Через проводим прямую L, параллельную прямой
, получим новое приближение:
.
Вычислить это скорректированное значение можно по формуле:
Можно попытаться найти новое, еще лучшее приближение , скорректировав его еще несколько раз. Полагают, что значение функции
найдено с необходимой точностью, если
.
Далее будем предсказывать и корректировать значение функции в точках x3, x4,…, xn=b.
В общем виде формулы прогноза и коррекции выглядят так:
![]() | (9) | |
![]() | (10) |
Метод прогноза и коррекции сходится к некоторому определенному значению, но не обязательно к точному решению уравнения.
Дата публикования: 2015-01-24; Прочитано: 232 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!