Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Метод прогноза и коррекции



В методах Эйлера и Рунге-Кутта при вычислении следующей точки (xi+1, yi+1) используется информация только о точке (xi, yi), но не о предыдущих точках. И так как эта информация не используется, а также поскольку для метода Рунге-Кутта отсутствуют достаточно простые способы оценки ошибки (погрешности), то целесообразно рассмотреть некоторые дополнительные методы решения дифференциальных уравнений.

В методах прогноза-коррекции, как ясно из названия вначале «предсказывается» значение yi+1, а затем используется тот или иной метод для «корректировки» этого значения. После этого можно использовать формулу коррекции для вторичной «корректировки» того же значения yi+1. Этот итерационный процесс можно повторять сколько угодно раз, но для эффективности желательно уменьшить число итераций, выбирая шаг интегрирования.

Существует целый ряд методов прогноза и коррекции – метод Адамса, метод Милна и т.д. Отличаются методы количеством точек, опираясь на которые получают последующую точку.

Рассмотрим наиболее простой метод прогноза и коррекции для решения задачи Коши первого порядка.

Дано дифференциальное уравнение с начальным условием . Необходимо найти таблицу значений функции на отрезке методом прогноза и коррекции.

Разобьем отрезок на n частей с шагом , построим систему равноотстоящих точек .

Формула прогноза.

Так как для предсказания последующей точки необходимо опираться на несколько предыдущих точек, а в задаче Коши дается только одно начальное значение, то еще одно значение найдем, воспользовавшись другим методом, например, методом Рунге-Кутта, т.к. он точнее метода Эйлера. Таким образом, у нас имеются две начальные точки: (x0, y0) и (x1, y1).

Геометрически предсказание сводится к следующему:

1) В точке проводим касательную L1.

2) Через точку проводим прямую L, параллельно L.

3) Будем полагать, что предсказанное значение будет расположено там, где прямая L пересечется с прямой .

Рассмотрим треугольник ABC. Значение можно получить, добавив к y0 приращение . Найдем ВС: так как прямые L и L1 параллельны, то тангенс угла наклона у них одинаковый, следовательно, .

Таким образом,

Теперь необходимо скорректировать предсказанное значение.

Формула коррекции

1) L1 – та же самая.

2) Т.к. y2 приближенно известно, то можно вычислить наклон касательной в точке – касательная L2.

3) Усредняем тангенсы L1 и L2 (биссектриса), получим прямую .

4) Через проводим прямую L, параллельную прямой , получим новое приближение: .

Вычислить это скорректированное значение можно по формуле:

Можно попытаться найти новое, еще лучшее приближение , скорректировав его еще несколько раз. Полагают, что значение функции найдено с необходимой точностью, если .

Далее будем предсказывать и корректировать значение функции в точках x3, x4,…, xn=b.

В общем виде формулы прогноза и коррекции выглядят так:

  (9)
  (10)

Метод прогноза и коррекции сходится к некоторому определенному значению, но не обязательно к точному решению уравнения.





Дата публикования: 2015-01-24; Прочитано: 232 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...