Метод Эйлера. Дано дифференциальное уравнение с начальным условием

Дано дифференциальное уравнение с начальным условием . Необходимо найти таблицу значений функции на отрезке методом Эйлера.

Рассмотрим графическую интерпретацию метода. Разобьем отрезок на n частей с шагом , причем шаг h должен быть достаточно малым, построим систему равноотстоящих точек . – искомая интегральная кривая. Так как уравнение представляет собой выражение производной , а геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной, то вместо искомой интегральной кривой рассмотрим касательную к ней в точке . Видно, что значение y₁ можно найти, добавив к y₀ приращение ∆y=LP. LP – катет в прямоугольном треугольнике KLP, его длину можно найти по формуле . Тогда формула для нахождения y₁ примет вид: .

Пользуясь теми же рассуждениями, зная значение y₁, можно найти значения y₂, а затем и все последующие значения функции.

В общем виде формула Эйлера имеет вид:

(5)

Метод Эйлера обладает малой точностью, к тому же погрешность каждого нового шага возрастает. Наиболее удобным на практике является модификация метода Эйлера, в данном случае способ двойного счета с шагом h и с шагом. Если расхождение полученных значений не превышает допустимой погрешности, то шаг для данного этапа выбран правильно, в противном случае шаг уменьшается в два раза.

Совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает естественные основания считать их верными.