Метод Ньютона. Теорема: если , т.е. f(x) принимает на концах значения с противоположными знаками, а

Теорема: если , т.е. f(x) принимает на концах значения с противоположными знаками, а не меняет знака на , следовательно, уравнение (1) имеет на единственное решение (корень ).

Метод Ньютона (метод касательных): – уравнение касательной. Положив находим . Построив касательную в точке х ₁, находим х ₂ аналогично и т.д.

. Оценим скорость сходимости:

, где и . Тогда , где . , т.е. .

Получим , где – погрешность убывает по геометрической прогрессии со значением a.

Когда уже мала, тогда можно дать более точную оценку. В формулу подставим разложение в ряд Тейлора:

Тогда

, т.е. – погрешность убывает по квадратичному закону.

Связь с методом итераций: .

.