Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли)

сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой - сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2) гипотеза о постоянстве нормальных напряжений - напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3) гипотеза об отсутствии боковых давлений - соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Связь между внутренними усилиями и нормальными напряжениями в сече­нии балки найдем из рассмотрения напряжений из элементарной площадке dA, выделенной в поперечном сечении А балки в точке с координатами у и x (ось y для удобства анализа направлена вниз):

, следовательно , поэтому

; (6.10)

, следовательно , поэтому

; (6.11)

, следовательно , поэтому

; (6.12)

Рис.38. Напряжения при чистом изгибе

Как видим, неизвестен характер распределения нормальных напряже-ний по сечению. Для решения задачи рассмотрим геометрическую картину деформаций.

Рассмотрим деформацию элемента балки длиной dz, выделенного из изги­баемого стержня в произвольной точке с координатой z. Учитывая принятую ранее гипотезу плоских сечений, после изгиба сечения балки повернутся относительно нейтральной оси (н.о.) на угол , при этом волокно ab, отстоящее от оси на расстояние у, превратится в дугу окружности a1b1, а его длина изменится на некоторую величину.

Здесь напомним, что длина волокон, лежащих на нейтральной оси, не изменяется а потому дуга a0b0 (радиус кривизны которой обозначим ), имеет ту же длину, что и отрезок a0b0 до деформации: a0b0=dx.

Найдем относительную линейную деформацию , волокна ab изогнутой бал­ки: , следовательно

(6.13)

Учитывая, что, в соответствии с гипотезой об отсутствии боковых давлений, запишем закон Гука для изгиба в виде:

(6.14)

Из формулы для относительной линейной деформации с учетом закона Гука получим закон распределения нормаль­ных напряжений по сечению балки:

. (6.15)

Подставляя это выражение в каждое из уравнений равновесия, имеем следующие соотно­шения:

, следовательно , отсюда

; (6.16)

, следовательно , отсюда

; (6.17)

, следовательно , отсюда

. (6.18)

Из анализа первого и второго полученных выражений следует, что оси у и х являются главными центральными осями сечения, а нейтральная ось прохо­дит через центр тяжести сечения.

Из последнего равенства получим формулу для определения кривизны бруса при изгибе

, (6.19)

Используя это выражение, получим формулу определения нормальных напряжений при изгибе:

(6.20)

Из анализа полученного уравнения следует, что нормальные напряжения при изгибе равны нулю в точках, лежащих на нейтральной оси, и достигают экс­тремальных значений на поверхности балки, при .

Максимальные нормальные напряжения при изгибе найдем по формуле:

, (6.21)

где Wz - осевой момент сопротивления

(6.22)

Таким образом, в случае изгиба условие прочности по нормальным напряжениям может быть записано в следующем виде (для материала балки, одинаково сопротивляющегося растяжению-сжатию):