Глава 7. Кручение

Кручение это такой вид деформации бруса, при котором в поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент или .

Деформация кручения возникает при нагружении бруса парами сил или скручивающими моментами, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси. На рисунке 7.1 приведены некоторые виды изображений крутящего момента.

Применяя "метод сечений", рассматривая равновесие оставленной части, видно, что должен быть крутящий момент, который уравновешивает внешние моменты, приложенные к оставленной части.

Крутящий момент, возникающий в произвольном поперечном сечении бруса, численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к оставленной части. График, показывающий закон изменения крутящих моментов, называют эпюрой крутящих моментов (рисунок 7.2). При построении эпюр действует следующее правило знаков. Крутящий момент положителен, если он направлен по часовой стрелке. При кручении бруса в поперечных сечениях его возникают только касательные напряжения. Для расчета на прочность надо найти опасное сечение бруса. Опасным сечением бруса является сечение, в котором действует максимальное касательное напряжение по модулю .

Рисунок 7.1 Рисунок 7.2

Теория кручения бруса круглого сплошного или кольцевого поперечного сечения основана на следующих допущениях.

1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и после деформации (гипотеза Бернулли).

2. Поперечное сечение остается круглым, радиусы не меняют своей длины и не искривляются.

3. Материал бруса при деформации следует закону Гука.

Рассмотрим брус круглого поперечного сечения, жестко защемленный одним концом и нагруженный на свободном конце моментом (рисунок 7.3). При деформации бруса поперечные сечения повернутся на некоторые углы по отношению к первоначальному положению. Применяя метод сечения видно, что крутящий момент равен внешнему . Выразим его через касательные напряжения. В любой точке касательное напряжение направлено перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку (рисунок 7.4). Момент элементарной касательной силы относительно оси равен

или . (7.1)

Рисунок 7.3 Рисунок 7.4

Рассмотрим прямоугольный треугольник . Здесь , . Получим, что

. (7.2)

Используем закон Гука для сдвига , где – модуль сдвига или модуль упругости второго рода.

(7.3)

Используя (7.1-7.3) получим следующее выражение

или . (7.4)

В этой формуле величина – полярный момент инерции сечения. Имеет следующую размерность: единица длины в четвертой степени. Полярный момент инерции представляет собой взятую по всей площади сечения сумму произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до начала координат. Преобразуем выражение (7.4).

(7.5)

(7.6)

Используя (7.6) и (7.3), получим или . (7.7)

По полученной формуле можно определить значения касательных напряжений в любой точке поперечного сечения. Из этой формулы следует, что касательные напряжения распределены вдоль радиуса сечения по линейному закону (рисунок 7.5). В точках, равноудаленных от центра сечения, напряжения одинаковы. Наибольшего значения касательные напряжения достигают в точках контура поперечного сечения. Подставим в (7.7) вместо наибольшее значение :

Введем следующее обозначение и подставим в предыдущую формулу, получим

. (7.8)

Величина называется полярным моментом сопротивления сечения. Имеет следующую размерность: единица длины в третьей степени. Полярный момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности бруса круглого поперечного сечения при кручении.

Определим угол закручивания из (7.6)

или (7.9)

Если диаметр бруса постоянен и крутящий момент имеет во всех сечениях одинаковое значение, то . Угол закручивания измеряется в радианах. Произведение называется жесткостью круглого сечения при кручении. Модуль сдвига характеризует жесткость материала, а полярный момент инерции является геометрической характеристикой жесткости бруса.